[논문 리뷰] Deformation cohomology of algebraic and geometric structures

J.-F. Pommaret|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 09.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 리 대수 방법 대신 베시외 구조 방정식과 스펜서 연산자를 사용하여 대수적 및 기하적 구조에 대한 통합된 변형 코homology 프레임워크를 제안한다. 이는 무한차원 리 알gebroid에 대해 컴퓨터 대수의 체계적 응용을 가능하게 한다. 주요 기여는 베시외 형식에 기반한 새로운 코homology 시퀀스로, 체발리-에일렌버그 코homology를 일반화하고 리만, 심플렉틱, 접촉 기하학과 같은 구조에 적용할 수 있다.

ABSTRACT

In 1953, the physicists E. Inonü and E.P. Wigner introduced the concept of deformation of a Lie algebra by claiming that the limit $1/c ightarrow 0$, when c is the speed of light, of the composition law $(u,v) ightarrow (u+v)/(1+(uv/c^2))$ of speeds in special relativity (Poincaré group) should produce the composition law $(u,v) ightarrow u + v $ used in classical mechanics (Galilée group). However, the dimensionless composition law $(u'=u/c,v'=v/c) ightarrow (u'+v')/(1+u'v')$ does not contain any longer a perturbation parameter. Nevertheless, this idea brought the birth of the " deformation theory of algebraic structures", culminating in the use of the Chevalley-Eilenberg cohomology of Lie algebras and one of the first applications of computer algebra in the seventies. One may also notice that the main idea of general relativity is to deform the Minkowski metric of space-time by means of the small dimensionless parameter $ϕ/c^2$ where $ϕ=GM/r$ is the gravitational potential at a distance r of a central attractive mass M with gravitational constant G. A few years later, a " deformation theory of geometric structures " on manifolds of dimension n was introduced and one may quote riemannian, symplectic or complex analytic structures. Though often conjectured, the link between the two approaches has never been exhibited and the aim of this paper is to provide the solution of this problem by new methods. The key tool is made by the " Vessiot structure equations " (1903) for Lie groups or Lie pseudogroups of transformations, which, contrary to the " Cartan structure equations ", are still unknown today and contain " structure constants " which, like in the case of constant riemannian curvature, have in general nothing to do with any Lie algebra. The main idea is then to introduce the purely differential Janet sequence $0 ightarrow Θ ightarrow T ightarrow F_0 ightarrow F_1 ightarrow ... ightarrow F_n ightarrow 0$ as a resolution of the sheaf $Θ\subset T$ of infinitesimal transformations and to induce a purely algebraic " deformation sequence " with finite dimensional vector spaces and linear maps, even if $Θ$ is infinite dimensional. The infinitesimal equivalence problem for geometric structures has to do with the local exactness at $ F_0 $ of the Janet sequence while the deformation problem for algebraic structures has to do with the exactness of the deformation sequence at the invariant sections of $F_1 $, that is ONE STEP FURTHER ON in the sequence and this unexpected result explains why the many tentatives previously quoted have not been successful. Finally, we emphasize through examples the part that could be played by computer algebra in any explicit computation.

연구 동기 및 목표

• 변형 이론에서 리 대수와 다변량 위의 기하적 구조 사이의 오랜 격차를 해결하기 위해.
• 베시외 구조 방정식을 사용하여 기하 대상(예: 리만, 심플렉틱, 접촉)의 변형을 위한 엄밀한 코homology 프레임워크를 수립하기 위해.
• 체발리-에일렌버그 코homology가 스펜서 연산자와 베시외 형식에 기반한 더 넓은 코homology 시퀀스의 특수한 경우임을 보여주기 위해.
• 무한차원 리 알gebroid에 대해서도 유한차원 선형 시퀀스를 사용하여 변형 이론에 대한 체계적 컴퓨터 대수 응용을 가능하게 하기 위해.
• 1903년 이후 간과되어 온 베시외 구조 방정식의 기초적 역할을 명확히 하기 위해, 변형 프로그램에서 카르탕 구조 방정식을 대체하기 위해.

제안 방법

• 카르탕 구조 방정식을 제거하고, 제트 다발과 자연 다발에 내재된 기하학적 성질을 지닌 베시외 구조 방정식으로 대체하기 위해.
• 스펜서 연산자를 사용하여 유한차원 벡터 공간 위에 코homology 시퀀스를 유도하는 표준적인 선형 제넷 시퀀스를 정의하기 위해.
• 베시외 코homology에 기반한 변형 복합체를 구성하기 위해, 여기서 코homology 군은 베시외 방정식의 구조 상수에만 의존한다.
• 주어진 동차 공간에 이론을 적용하여, 체발리-에일렌버그 코homology를 특수한 경우로 회복하기 위해.
• RWTH 아헨에서 개발된 기호 계산 도구(예: 바카트와 라우렌츠의 작업)를 활용하여 코homology 시퀀스를 알고리즘적으로 구현하기 위해.
• 비선형 스펜서 시퀀스와 제트 군oids 형식론을 사용하여 비아벨 및 비선형 기하적 구조를 체계적으로 다루기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 변형 이론에서 리 대수의 변형 코homology를 통합 프레임워크를 사용하여 다변량 위의 기하적 구조로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 베시외 구조 방정식은 변형 이론에서 카르탕 구조 방정식을 어떻게 대체하는가?
• RQ3 스펜서 연산자는 어떻게 무한차원 리 알gebroid에 대해 유한차원 코homology 시퀀스를 구성하는가?
• RQ4 어떤 방식으로 새로운 코homology 시퀀스는 리 군의 경우에 고전적인 체발리-에일렌버그 코호몰로지로 복원되는가?
• RQ5 컴퓨터 대수 시스템은 접촉 또는 유일모듈라 접촉 구조와 같은 복잡한 기하적 구조의 변형 코호몰로지를 효과적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 베시외 구조 방정식은 변형 이론에서 카르탕 구조 방정식의 기초적 대체자로 작용하여 오랫동안 존재하던 개념적 격차를 해결한다.
• 구조 상수가 베시외 방정식에만 의존하므로, 기하적 구조의 변형 코호몰로지는 구조 상수가 존재하지 않는 경우(예: 일정한 리만 곡률)에도 완전히 결정된다.
• 스펜서 연산자와 제넷 이론에 기반한 새로운 코호몰로지 시퀀스는 유한차원이면서 계산 가능하여 기호 계산을 통한 알고리즘적 처리가 가능하다.
• 구조가 리 군의 주 동차 공간일 경우 체발리-에일렌버그 코호몰로지가 특수한 경우로 나타난다.
• 이 프레임워크는 접촉 및 유일모듈라 접촉 구조와 관련된 무한차원 리 알gebroid로 변형 이론을 성공적으로 일반화한다.
• 이론은 리 대수의 변형과 기하적 구조의 변형 사이의 개념적 다리를 제공하며, 스펜서, 코다이라, 쿠라니시 등 이전 연구에서 다루지 못한 가설적 연결을 해결한다.