[논문 리뷰] Deformation from symmetry for Schrodinger equations of higher order on unbounded domains

Addolorata Salvatore, Marco Squassina|ArXiv.org|2003. 03. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭성의 변형에서 비롯된 변형 방법을 적용하여, 비균질 경계 조건을 가진 비유계 영역에서 고계 다항파르스키 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한히 많은 해의 존재성을 확립한다. 비선형성에 대한 적절한 성장 조건과 잠재력 V에 대한 스펙트럼 조건이 만족될 경우, 영역의 측도가 유한하거나 전체 공간일 때 문제는 무한히 많은 해를 갖는다. 이는 비판점 이론과 가중 색플레프 공간에서의 컴팩턴스 추론을 통해 두계수 결과를 고계 연산자로 확장한다.

ABSTRACT

By means of a perturbation method recently introduced by Bolle, we discuss the existence of infinitely many solutions for a class of perturbed symmetric higher order Schrodinger equations with non-homogeneous boundary data on unbounded domains.

연구 동기 및 목표

• 두계수 슈뢰딩거 방정식의 다중성 결과를 대칭성 파괴 편향이 있는 고계 다항파르스키 연산자로 확장하는 것.
• 비유계 영역에서의 컴팩턴스 부족 문제를 해결하기 위해 잠재력 V에 스펙트럼 조건을 도입하여 이산 스펙트럼과 컴팩트 임베딩을 보장하는 것.
• 비대칭성이 비영인 경계 추적에 의해 파괴되더라도, 비균질 경계 자료를 가진 고계 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한히 많은 해의 존재를 확립하는 것.
• 이전의 임계 지수 및 성장 조건 결과를 비유계 영역에서 고계 경우(K > 1)로 일반화하는 것.
• 변분 방법과 대칭성의 변형에서 비롯된 편향 기법을 결합하여 비유계 영역에서의 다중성 결과를 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 비대칭성이 파손된 문제에 대해 최근 볼레, 구소브, 테하라니가 개발한 변형 방법을 적용한다.
• 가중 색플레프 공간 $X_V$ 상에서 비판점 이론을 사용한다. 여기서 $X_V$ 는 연산자 $A + V(x)$ 의 정의역이며, 노름은 $\|\cdot\|_{X_V}$ 로 정의된다.
• 스펙트럼 조건 (V) 를 도입하여 $A + V(x)$ 의 스펙트럼이 이산적이며 컴팩트 임베딩이 성립하도록 하여 팔라이스-스무스 조건을 복원한다.
• 가리아르도-니레버그 부등식을 사용하여 $X_V$-노름과 고유값을 바탕으로 $L^p$ 노름을 제어한다.
• 큰 구를 고정하는 기울기 변형을 사용하여 최소최대 값 $c_n = \inf_{h \in H} \sup_{h(X^n_V)} I_0$ 를 정의함으로써 임계점을 생성한다.
• 에너지의 변화를 편향에 따라 추적하기 위해 $C^1$-함수 $I_\vartheta(u) = I(\vartheta, u)$ 를 $\vartheta \in [0,1]$ 에 대해 매개변수화한 변형 보조정리를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 영역에서 비균질 경계 조건을 가진 고계 슈뢰딩거 방정식에 대해 대칭성의 변형 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ2 비선형성 $g(x,u)$ 와 잠재력 $V(x)$ 에 어떤 조건이 성립하면 비영인 경계 추적에 의해 대칭성이 파괴된 경우에도 무한히 많은 해가 존재하는가?
• RQ3 두계수 경우와 비교해 볼 때 고계 경우($K > 1$)에서 다중성의 임계 지수는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 영역 $\Omega$ 와 잠재력 $V$ 에 어떤 조건이 성립하면 비유계 영역에서 팔라이스-스무스 조건이 복원되는가?
• RQ5 영역 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 이고 $V \equiv 0$ 인 경우에도 다중성 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 영역 $\Omega$ 가 비유계이면서 $|\Omega| < \infty$ 이면, 조건 (g1)–(g4), (A), (V) 를 만족하고 $\lambda_n > n^{\kappa(p,K,N,\mu)}$ 를 만족할 경우, $n$ 이 매우 클 때 $\kappa(p,K,N,\mu) = \frac{2K\mu(p-2)}{(\mu-p+1)(2Kp - (p-2)N)}$ 이면 문제는 무한히 많은 해를 갖는다.
• 만약 $\phi \in L^{\mu'}(\Omega)$ 이고 $\phi_j \in H^{K-j-1/2}(\partial\Omega)$ 이면, 동일한 스펙트럼 조건 하에서 경계값 문제 (S_{\phi,\varphi}) 는 무한히 많은 해를 갖는다.
• 만약 모든 $j$ 에 대해 $\phi_j = 0$ 이면, $g$ 에 대한 성장 제약 조건을 완화할 수 있으며, 이 결과는 $\mu > 2$ 이고 $2 < p < \mu+1$ 인 경우에 성립하며, $N > 2K$ 이면 $p < K^*$ 이다.
• 영역 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 이면, 동일한 다중성 결과가 $V \equiv 0$ 이고 $\phi = 0$ 인 경우에도 성립한다. 이때 $g$ 는 (g1)–(g4) 를 만족하고 $2 < p < \frac{2N}{N-2K}$ 이다.
• 색플레프 공간 $H^K_0(\Omega)$ 에서의 임계 지수는 $K^* = \frac{2N}{N-2K}$ 이며, $g$ 의 성장은 이 지수에 대해 비임계여야 한다.
• 영역의 측도가 유한할 경우, 더 날카운 하한 $c_n \geq \bar{b} \lambda_n^{\bar{\beta}(p,K,N)}$ 이 성립하며, $\bar{\beta}(p,K,N) = \frac{2Kp - N(p-2)}{2K(p-2)}$ 이다. 이는 $n \to \infty$ 일 때 무한히 많은 해의 존재를 암시한다.