[논문 리뷰] Deformation inequivalent complex conjugated complex structures and applications

Viatcheslav Kharlamov, Вик. С. Куликов|DergiPark (Istanbul University)|2001. 11. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 모든 차원 ≥2에서 복소수 켤레와 변형 동치가 아닌 컴팩트 복소다양체의 명시적 예를 구성하며, 이들 다양체가 캐논칼 클래스를 뒤집는 홈오모르피즘을 가질 수 없음을 보인다. (Z/5Z)^2를 군으로 가지는 복소사영평면의 갈로아 피복과 영형 수준 조건을 통한 해석적 계산을 이용하여, 최소 탈특이화의 기하학적 종수와 비정규성을 증명함으로써, 미분형 또는 변형에 대해 그 역과 동치가 아닌 최초의 알려진 심플렉틱 구조의 예를 확립한다.

ABSTRACT

Here, we resume and broaden the results concerned which appeared in math.AG/0101098 and math.AG/0104021. We start from summing up our example of a complex algebraic surface which is not deformation equivalent to its complex conjugate and which, moreover, has no homeomorphisms reversing the canonical class. Then, we construct several series of higher dimensional compact complex manifolds having the same property. We end with discussing applications to the Dif=Def problems, to the existence of diffeomorphic plane cuspidal curves non equivalent under equisingular deformations and to the existence of (deformation) non equivalent symplectic structures with opposite canonical classes.

연구 동기 및 목표

• 모든 복소다양체가 실대수기하학에서 실수적 성질을 가진 다양체 또는 반자기동형사상이 존재하는 다양체로 변형될 수 있는지 여부에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 모든 차원 ≥2에서 복소수 켤레와 변형 동치가 아닌 컴팩트 복소다양체를 구성하기 위해.
• 홈오모르피즘이 캐논칼 클래스를 뒤집을 수 없는 복소다양체의 존재를 보여주기 위해, 특히 프로젝티브 경우에도 마찬가지임을 입증하기 위해.
• 복소표면에서의 결과를 고차원으로 확장하고 Dif=Def 문제에 대한 새로운 반례를 제공하기 위해.
• 미분형 또는 변형에 대해 그 역과 동치가 아닌 최초의 알려진 심플렉틱 구조의 예를 구성하기 위해.

제안 방법

• 특정 다중성을 가진 12개의 직선 구성으로 (Z/5Z)^2를 군으로 가지는 CP^2의 갈로아 피복을 구성하기 위해.
• 복소 2형식의 풀백에서의 소멸 차수 조건을 통한 일반 알고리즘을 적용하여 갈로아 피복의 기하학적 종수를 계산하기 위해.
• 기하학적 정규성 조건을 확보하기 위해 분지다양체의 특이점에서 요구되는 최소 영점 차수를 결정하기 위해 기준 (5)–(7)을 사용하기 위해.
• 각 순환 몫 피복 X_{G_i} → CP^2의 최소 탈특이화에서의 헬름홀로픽 2형식의 공간을 명시적으로 계산하기 위해.
• 다항식 차수의 상한과 영점 조건을 이용하여, G의 여섯 부분군 H_i 각각에 대해 이러한 형식의 공간 차원(기하학적 종수)을 평가하기 위해.
• 노이터의 공식을 적용하여 비정규성 q = 0을 계산함으로써, 표면가 정규임을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 차원 ≥2인 컴팩트 복소다양체는 실수적 성질을 지닌 다양체 또는 반자기동형사상이 존재하는 다양체로 변형될 수 있는가?
• RQ2 복소수 켤레와 변형 동치가 아닌 컴팩트 복소다양체가 존재하는가?
• RQ3 캐논칼 클래스를 뒤집는 홈오모르피즘이 없는 복소다양체가 존재할 수 있는가?
• RQ4 미분형 또는 변형에 대해 그 역과 동치가 아닌 심플렉틱 구조가 존재하는가?
• RQ5 Dif=Def 문제는 단지 동치가 아니라는 것뿐만 아니라, 켤레이면서도 캐논칼 클래스를 뒤집는 홈오모르피즘이 없는 다양체를 통해 해결될 수 있는가?

주요 결과

• 군 (Z/5Z)^2를 가지는 갈로아 피복 X_G → CP^2의 최소 탈특이화의 기하학적 종수는 p_g = 36이다.
• 최소 탈특이화의 비정규성 q는 노이터의 공식을 통해 계산된 결과 0이다: (c_1^2 + c_2)/12 - 1 - p_g = 0.
• 여섯 개의 순환 몫 피복 X_{G_i} → CP^2의 기하학적 종수는 다음과 같이 계산된다: p_g(G_1)=1, p_g(G_2)=5, p_g(G_3)=5, p_g(G_4)=13, p_g(G_5)=11, p_g(G_6)=1.
• 구성된 예들은 복소수 켤레와 변형 동치가 아니며, 캐논칼 클래스를 뒤집는 홈오모르피즘이 존재하지 않는다.
• 이 구성은 최초로 알려진, 미분형 또는 변형에 대해 그 역과 동치가 아닌 심플렉틱 구조의 예를 제공한다.
• 이 예들은 차원 2에서는 강력한 정규성, 고차원에서는 강력한 정규성을 가지며, 비자명한 국소 변형이 존재하지 않는다.