[논문 리뷰] Deformation of matrix-valued orthogonal polynomials related to Gelfand pairs

Maarten van Pruijssen, Pablo Román|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단일 랭크의 컴act Gelfand 쌍과 관련된 행렬 값의 직교 다항식(MVOPs)에 대한 변형 방법을 제시한다. 이 방법은 전체 구면 함수 $\Psi_0$를 사용하여 변형 동안 스투름-리우빌 성질을 유지한다. $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 쌍에 대해 $\Psi_0$의 명시적 공식을 Krawtchouk 다항식으로 유도하고, $\mathrm{SU}(n)$과 관련된 가다리가 상호 간에 변형임을 증명하며, $\mathrm{Sp}(n)$과 관련된 가다리가 추가 자유 매개변수를 가진 새로운 가다리를 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we present a method to obtain deformations of families of matrix-valued orthogonal polynomials that are associated to the representation theory of compact Gelfand pairs. These polynomials have the Sturm-Liouville property in the sense that they are simultaneous eigenfunctions of a symmetric second order differential operator and we deform this operator accordingly so that the deformed families also have the Sturm-Liouville property. Our strategy is to deform the system of spherical functions that is related to the matrix-valued orthogonal polynomials and then check that the polynomial structure is respected by the deformation. Crucial in these considerations is the full spherical function $Ψ_{0}$, which relates the spherical functions to the polynomials. We prove an explicit formula for $Ψ_{0}$ in terms of Krawtchouk polynomials for the Gelfand pair $(\mathrm{SU}(2) imes\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$. For the matrix-valued orthogonal polynomials associated to this pair, a deformation was already available by different methods and we show that our method gives same results using explicit knowledge of $Ψ_{0}$. Furthermore we apply our method to some of the examples of size $2 imes2$ for more general Gelfand pairs. We prove that the families related to the groups $\mathrm{SU}(n)$ are deformations of one another. On the other hand, the families associated to the symplectic groups $\mathrm{Sp}(n)$ give rise to a new family with an extra free parameter.

연구 동기 및 목표

• 단일 랭크의 컴팩트 Gelfand 쌍과 관련된 행렬 값의 직교 다항식(MVOPs)에 대한 체계적인 변형 방법을 개발하여, 그들의 스투름-리우빌 성질을 유지하고자 한다.
• 구면 함수의 변형과 MVOPs 내 다항식의 구조 유지 간의 연결 고리를 확립하고자 한다.
• Gelfand 쌍 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$에 대해 전체 구면 함수 $\Psi_0$의 명시적 공식을 Krawtchouk 다항식의 형태로 제공하고자 한다.
• 이 방법이 $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$에 대해 알려진 변형을 재현하며, $\mathrm{SU}(n)$과 $\mathrm{Sp}(n)$를 포함한 다른 Gelfand 쌍으로 확장됨을 보여주고자 한다.
• 변형 과정이 $\partial_y$ 이동을 허용함을 보여주고자 하며, 이는 변형된 MVOP 가다리의 도함수와 다음 가다리의 다항식이 대응됨을 의미한다.

제안 방법

• 이 방법은 MVOPs와 관련된 구면 함수 시스템을 변형하며, 구면 함수와 다항식 간의 다리 역할을 하는 전체 구면 함수 $\Psi_0$를 활용한다.
• 변형된 시스템이 다항식의 구조를 유지할 수 있도록 $\Psi_0$의 Krawtchouk 다항식에 대한 명시적 표현을 사용한다.
• 변형은 미분 연산자 $D$에 적용되어, 변형된 가다리가 동시에 고유함수로 남아 스투름-리우빌 성질을 유지하도록 한다.
• 이 접근법은 $\Psi_0$가 구면 함수와 MVOPs를 연결하며, 그 변형이 전체 MVOP 시스템에 일관되게 영향을 미친다는 사실에 기반한다.
• 이 방법은 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 쌍에 대해 유도된 변형이 이전 연구에서 알려진 결과와 일치함을 보여줌으로써 검증된다.
• 이 방법은 [22]의 $2\times2$ 예제에 적용되어, $\mathrm{SU}(n)$과 관련된 가다리가 하나의 변형 가다리를 형성하는 반면, $\mathrm{Sp}(n)$과 관련된 가다리들은 추가 자유 매개변수를 가진 새로운 가다리를 제공함을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 랭크의 컴팩트 Gelfand 쌍과 관련된 MVOPs에 대해 스투름-리우빌 성질을 유지하는 체계적인 변형 방법을 구축할 수 있는가?
• RQ2 Gelfand 쌍 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$에 대해 전체 구면 함수 $\Psi_0$의 명시적 형태는 고전적 직교 다항식의 형태로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 MVOPs의 $\mathrm{SU}(n)$과 관련된 가다리들이 제안된 방법에 따라 하나의 변형 가다리를 형성하는가?
• RQ4 이 변형 방법이 $\mathrm{Sp}(n)$와 같은 다른 Gelfand 쌍에 대해 새로운 가다리를 제공하는가? 만약 그렇다면, 추가 자유 매개변수가 도입되는가?
• RQ5 변형 과정이 $\partial_y$ 이동과 호환되는가? 즉, 한 가다리의 다항식 도함수와 다음 가다리의 다항식이 대응되는가?

주요 결과

• Gelfand 쌍 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$에 대해 전체 구면 함수 $\Psi_0$가 Krawtchouk 다항식의 선형 조합으로 명시적으로 표현되어, 관련된 MVOPs의 정밀한 변형이 가능해졌다.
• 제안된 변형 방법은 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 쌍에 대해 기존에 알려진 행렬 체비셰프 다항식의 변형이 행렬 겔란더 다항식으로의 변형을 재현한다.
• MVOPs가 $\mathrm{SU}(n)$과 관련된 가다리들은 상호 간에 변형임이 입증되었으며, 제안된 방법에 따라 하나의 연속적인 가다리를 형성한다.
• $\mathrm{Sp}(n)$에 관련된 경우, 이 방법은 원래 가다리들에 존재하지 않는 추가 자유 매개변수를 가진 새로운 MVOPs 가다리를 제공한다.
• 변형 과정은 $\partial_y$ 이동과 호환되며, 이는 $\kappa$-번째 가다리의 다항식 도함수가 $\kappa+1$-번째 가다리의 다항식에 대응됨을 의미한다. 이는 변형 체인 전반에 걸쳐 구조가 유지됨을 의미한다.
• 이 방법은 다루어진 경우들에 대해 변형된 MVOPs에 대한 로드리게스 유형 공식을 수립하여, 변형된 가다리들의 구성적 특성화를 제공한다.