[논문 리뷰] Deformation of quotients on a product

W. D. Gillam|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스킴의 곱 위의 몫에 대한 파생 변형 이론 프레임워크를 개발하며, 감소된 아티야 클래스를 도입하여 매끄러운 곡선 위의 벡터(bundle)의 Quot 스킴에 대한 완전한 고장 이론을 구성한다. $G_m$-여기적 코탄제ント 복합체와 세르 듀얼리티를 활용하여, 균일하게 자유인 핵을 가질 경우 자연스러운 사상 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 가 완전한 고장 이론이 되며, 이는 고장 이론의 내재적이고 파생 범주 기반의 구성이다.

ABSTRACT

We consider the general problem of deforming a surjective map of modules $f : E o F$ over a coproduct sheaf of rings $B=B_1 \otimes_A B_2$ when the domain module $E = B_1 \otimes_A E_2$ is obtained via extension of scalars from a $B_2$-module $E_2$. Assuming $B_1$ is flat over $A$, we show that the Atiyah class morphism $F o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F[1]$ in the derived category $D(B)$ factors naturally through (the shift of) a morphism $β: \Ker f o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F$. We describe the obstruction to lifting $f$ over a (square zero) extension $B_1' o B_1$ in terms of $β$ and the class of the extension. As an application, we use the reduced Atiyah class to construct a perfect obstruction theory on the Quot scheme of a vector bundle on a smooth curve (and more generally).

연구 동기 및 목표

• 제품 스킴 $X \times Y$ 위에서 $E$ 가 $Y$ 에서의 풀백인 사상 $f: E \to F$ 에 대한 파생 변형 이론을 개발한다.
• 제곱 제로 확장 위에서 이러한 사상의 올리기 장애를 사상 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ 를 통해 묘사한다.
• 매끄러운 곡선 위의 벡터 번들의 Quot 스킴에 대해 감소된 아티야 클래스를 통해 완전한 고장 이론을 구성한다.
• 보조적 구성 없이 유니버설 몫 수열만을 사용하여 고장 이론의 내재적이고 파생 범주 기반의 구성 방법을 제공한다.

제안 방법

• 파생 범주 내의 가환 다이어그램을 통해 $G_m$-여기적 코탄제ント 복합체를 사용하여 아티야 사상과 변형 문제를 연결한다.
• 변형 이론의 핵심 사상으로서 감소된 아티야 사상 $\beta: N \to \pi_1^*\mathbb{L}_X \otimes^\mathbf{L} F$ 을 도입한다.
• 가중치 1 부분복합체 함자 $k^1$ 을 적용하여 여전히 여기적 파생 범주로부터 고전적 아티야 사상과 감소된 아티야 사상을 추출한다.
• 세르 듀얼리티와 코homology 및 기저 변화 정리를 활용하여, $Y$ 가 고렌스타인 곡선일 경우 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 가 완전한 진폭 $\subseteq [-1,0]$ 을 가짐을 보인다.
• 요네다의 보조정리를 사용하여 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 를 $D(X)$ 내의 사상으로 식별하고, 적절한 가정 하에 이것이 완전한 고장 이론임을 증명한다.
• 등사 $\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, I) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*I \otimes^\mathbf{L} F)$ 를 적용하여 변형 함수자와 고장 이론을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파생 범주와 감소된 아티야 사상을 사용하여 제품 스킴 위의 몫 사상의 장애를 어떻게 묘사할 수 있는가?
• RQ2 자연스러운 사상 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 가 Quot 스킴에서 완전한 고장 이론을 정의하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 감소된 아티야 사상을 사용하여 유니버설 몫 수열에서 내재적으로 완전한 고장 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ4 세르 듀얼리티는 제품 위의 몫의 파생 변형 이론과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 복합체 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 가 완전한 진폭 $\subseteq [-1,0]$ 을 가지는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 감소된 아티야 사상 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ 는 아티야 사상 사상을 인수하며, 제곱 제로 확장 위에서 $f$ 의 올리기 장애를 제어한다.
• 다음과 같은 자연 변환 $\overline{\beta}: \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, \_ \,) \to \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*\_ \otimes^\mathbf{L} F)$ 는 $X$ 가 Quot 스킴의 열린 부분집합일 경우 $H^0$ 에서 동형이며 $H^1$ 에서 단사적이다.
• 만약 $Y$ 가 고렌스타인 곡선이고 $N$ 이 국소적으로 자유일 경우, 복합체 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 는 완전한 진폭 $\subseteq [-1,0]$ 을 가진다.
• 요네다의 보조정리를 통해 얻어진 사상 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 는 제시된 가정 하에 $X$ 에서 완전한 고장 이론이 된다.
• 이 구성은 보조적 구성 없이 유니버설 몫 수열만을 사용하여 내재적이고 파생 범주 기반의 완전한 고장 이론을 Quot 스킴에 제공한다.
• 매끄러운 곡선 $Y$ 에 대해서는 유니버설 몫의 핵 $N$ 이 항상 국소적으로 자유이므로, 완전한 고장 이론은 Quot 스킴의 열린 부분집합 전역에 대해 적용 가능하다.