[논문 리뷰] Deformation principle and problem of parallelism in geometry and physics

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|2002. 10. 27.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 세계 함수(world function)를 통한 유클리드 기하학의 변형을 통해 비균일 기하학을 구성하는 변형 원칙을 제안하며, 리만 기하학의 평행성 정의의 일관성에 도전한다. 기하학적 평행성의 고전적 리만 접근 방식이 절대 평행성의 부재를 초래하고 비리만 기하학을 배제한다는 점을 주장하며, 플랑크 상수를 포함하는 왜곡 함수를 통해 양자 효과의 기하학적 기초를 제안한다.

ABSTRACT

The deformation principle admits one to obtain a very broad class of nonuniform geometries as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. The Riemannian geometry is also obtained by means of a deformation of the Euclidean geometry. Application of the deformation principle appears to be not consecutive, and the Riemannian geometry appears to be not completely consistent. Two different definitions of two vectors parallelism are investigated and compared. The first definitions is based on the deformation principle. The second definition is the conventional definition of parallelism, which is used in the Riemannian geometry. It is shown, that the second definition is inconsistent. It leads to absence of absolute parallelism in Riemannian geometry and to discrimination of outcome outside the framework of the Riemannian geometry at description of the space-time geometry.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 공리계에 의존하지 않고 세계 함수를 사용하여 유클리드 기하학을 변형함으로써 물리적 기하학을 수립하는 것.
• 저자는 고전적 리만 기하학적 평행성 정의가 일관성 결여와 절대 평행성의 부재를 초래한다고 주장하며, 이를 도전하는 것.
• 비퇴화된 시간적 튜브가 존재할 경우, 미분기하학적으로 균일하고 등방성인 민코프스키 시공간 기하학이 자유 입자의 결정론적 운동을 기술하지 못하므로, 이는 진정한 물리적 기하학이 아니라는 것을 입증하는 것.
• 양자 상수 ℏ를 포함하는 새로운 시공간 기하학을 제안하여 비상대론적 양자 효과를 기하학적 현상으로 설명하는 것.
• 변형 기반의 정의를 도입함으로써 모든 기하학에서 절대 평행성을 유지하는 방식으로 평행성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 기하학적 정의와 관계 전반에서 유클리드 세계 함수 σ_E 를 변형된 세계 함수 σ_A 로 대체함으로써 물리적 기하학을 구성하는 것.
• 기하학적 대상과 관계를 세계 함수 σ 에 대해 직접적으로 정의하는 σ-불변적(σ-immanent) 방식을 사용하여 변형에 대해 일관성을 확보하는 것.
• 벡터에 대해 '직선'을 정의하기 위해 관계 |(e·e)(x·x) - (e·x)²| = 0 를 사용함으로써 리만 기하학을 초월하는 일반화된 개념을 도입하는 것.
• 비퇴화된 시간적 튜브와 확률적 운동을 모델링하기 위해 민코프스키 세계 함수 σ = σ_M + D(σ_M) 에 왜곡 함수 D(σ_M) 를 도입하는 것.
• σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) 인 경우 D(σ_M) = ℏ/(2bc) 로 설정하여 양자 효과를 기하학적으로 통합하는 것. 여기서 b 는 새로운 보편 상수이다.
• 변형 원칙을 적용하여 리만 접근 방식의 모호성을 피하는 일관된 벡터 평행성 정의를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 공리계에 의존하지 않고 유클리드 기하학을 변형함으로써 일관된 비리만 기하학을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고전적 리만 기하학적 평행성 정의가 절대 평행성을 보장하지 못하는 이유는 무엇이며, 그 물리적 결과는 무엇인가?
• RQ3 비영인 왜곡 함수 D(σ_M) 가 존재할 경우 시공간 내 입자의 운동에 결정론적 특성이 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 확률적 입자 운동과 같은 양자 효과는 변형된 시공간 기하학의 기하학적 결과로 설명될 수 있는가?
• RQ5 세계 함수 σ 가 기하학적 대상과 관계를 정의할 때 메트릭 제약 조건에 독립적인 방식으로 기여하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 리만 기하학적 평행성 정의는 다수의 등가 벡터가 원거리에 있는 벡터와 평행하다고 간주될 수 있어 유일성 원칙을 위반함으로써 절대 평행성의 부재를 초래한다.
• 리만 기하학에서는 절대 평행성의 부재로 인해, 특히 상대론적 물리학에서 비리만 기하학을 기술할 때 비리만 기하학이 배제된다.
• 민코프스키 시공간 기하학은 균일하고 등방성임에도 불구하고, 왜곡 함수 D(σ_M) ≠ 0 이면 자유 입자의 결정론적 운동을 기술하지 못하여 확률적 세계선이 발생한다.
• σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) 인 경우 D(σ_M) = ℏ/(2bc) 로 설정하면, 유도된 기하학은 자연스럽게 양자 효과를 포함하며 비상대론적 양자 현상을 기하학적 성질로 설명할 수 있다.
• 민코프스키 시공간 내 시간적 '직선'은 일차원이며 퇴화되어 있으며, 공간적 '직선'은 삼차원 표면이므로, 타키온이 일차원 궤적을 통해 감지될 수 없다는 시사점을 제공한다.
• 변형 원칙은 절대 평행성을 유지하면서도 리만 접근 방식의 모순을 피하는 일관된, σ-불변적 기하학 구성이 가능하게 한다.