[논문 리뷰] Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case

Kazuhiro Fujiwara|ArXiv.org|2006. 02. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 완전 실수 체 상에서 모듈로 $\ell$ 가환 표현의 보편적 변형 링과 $\iota$-adic 헤이크 대수 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 거의 정규 변형을 구성하고 타일러-와일즈 체계를 사용하여, 자유성과 완전 교차 성질을 보장하는 조건 하에 거의 정규 헤이크 대수와 주어진 유형의 보편적 변형 링 사이의 동형을 증명한다.

ABSTRACT

One of the basic questions in number theory is to determine semi-simple l-adic representations of the absolute Galois group of a number field. In this paper, we discuss the question for two dimensional representations over a totally real number field.

연구 동기 및 목표

• 완전 실수 체 위에서 모듈로 $\ell$ 가환 표현에 대한 $\iota$-adic 헤이크 대수와 보편적 변형 링 사이의 대응을 수립하는 것.
• 거의 정규 변형 유형을 사용하여 와일즈의 모듈라리티 승격 기법을 완전 실수 경우로 확장하는 것.
• 적절한 유한성 및 자유성 조건 하에 거의 정규 헤이크 대수가 보편적 변형 링과 동형임을 증명하는 것.
• 거의 정규 유형의 변형 링이 계수 링 위에서 상대적 완전 교차이자, 기하학적 통제를 보장하는 것.
• 모듈러 다양체의 호모로지가 보편적 변형 모듈을 실현함으로써, 자동형 및 가환 이론적 대상을 연결하는 것.

제안 방법

• 변형 조건을 제어하기 위해 휘어진 층과 헤이크 대수 위의 모듈을 사용하여 타일러-와일즈 체계를 구성하는 것.
• 계수 링 $o_{\mathscr{D}}[[\mathscr{X}^{\mathrm{loc}}_{\mathbb{n.o.}}]]$ 를 가진 $\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}$ 를 $\mathscr{D}$ 의 변형으로서 도입하는 것.
• 완벽한 복합체 논증과 호모로지적 보편 정확성에 의해 보편 변형 링 위의 자유 모듈 $M_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 가 존재함을 보장하는 것.
• 나카야마의 보조정리와 헤이크 대수 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 의 감소성 조건을 이용하여 동형 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \stackrel{\sim}{\to} T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 를 증명하는 것.
• 잔여체에서의 기저 변경을 통해 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 이 계수 링 $o_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 위에서 차원 0의 상대적 완전 교차임을 확립하는 것.
• 호모로지에서 정확한 제어 정리와 코호몰로지 이론적 보편성의 형식을 사용하여 자동형 형태와 가환 표현을 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 실수 체 위에서 모듈로 $\ell$ 가환 표현의 $\iota$-adic 헤이크 대수가 보편적 변형 링과 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 거의 정규 변형 유형 $\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}$ 을 사용하여 보편적 변형 링을 헤이크 대수로 실현할 수 있는가?
• RQ3 헤이크 대수 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 가 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 와 동형이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 변형 링의 자유성 및 완전 교차 성질이 모듈러 다양체의 호모로지와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 거의 정규 조건이 모든 변형이 모듈러임을 보장하는 데 얼마나 중요한가?

주요 결과

• 결론의 가정 하에 거의 정규 헤이크 대수 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 는 보편적 변형 링 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 와 동형이다.
• 변형 링 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 는 계수 링 $o_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 위에서 차원 0의 상대적 완전 교차이다.
• 모듈 $M_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 는 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 위의 자유 모듈이며, $R_{\mathscr{D}}$ 위에서 $M_{\mathscr{D}}$ 와 같은 계수를 가진다.
• 자연적인 전성 사상 $f_{\mathscr{D}}: R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \twoheadrightarrow R_{\mathscr{D}}$ 는 증강 아이디얼 $I^{\mathbb{n.o.}}$ 에 모odulo하여 동형을 유도한다.
• 모든 $v|\ell$ 에 대해 $\mathrm{def}_{\mathscr{D}}(v) = \mathbb{n.o.}$ 라면, 대수 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 는 히다의 거의 정규 헤이크 대수와 일치한다.
• 정확한 제어 정리와 호모로지적 보편적 단사성에 의해 동형 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \stackrel{\sim}{\to} T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 가 확립된다.