[논문 리뷰] Deformation theory and rational homotopy type

Mike Schlessinger, Jim Stasheff|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 74

한 줄 요약

이 논문은 $L_\infty$-대수를 이용하여 유리호모토피 유형을 분류하는 변형 이론적 프레임워크를 수립한다. 고정된 코homology를 가진 유리호모토피 유형의 모듈리 공간이 변형의 콘형 대수적 다양체의 몫으로서 프로-유니포텐트 군 작용에 의해 모델링됨을 보여준다. 주요 기여는 이러한 모듈리 공간을 미분가환코알제브라의 경로 성분과 동일시하는 것으로, $L_\infty$-제어를 통한 변형 이론과 유리호모토피 이론을 연결한다.

ABSTRACT

We regard the classification of rational homotopy types as a problem in algebraic deformation theory: any space with given cohomology is a perturbation, or deformation, of the "formal" space with that cohomology. The classifying space is then a "moduli" space --- a certain quotient of an algebraic variety of perturbations. The description we give of this moduli space links it with corresponding structures in homotopy theory, especially the classification of fibres spaces with fixed fibre F in terms of homotopy classes of maps of the base B into a classifying space constructed from the monoid of homotopy equivalences of F to itself. We adopt the philosophy, later promoted by Deligne in response to Goldman and Millson, that any problem in deformation theory is "controlled" by a differential graded Lie algebra, unique up to homology equivalence (quasi-isomorphism) of dg Lie algebras. Here we extend this philosophy further to control by sh-Lie-algebras.

연구 동기 및 목표

• 유리호모토피 유형의 분류 문제를 대수적 변형 이론의 문제로 재구성하는 것.
• 고정된 코homology를 가진 유리호모토피 유형의 모듈리 공간이 콘형 대수적 다양체의 프로-유니포텐트 군 작용에 의한 몫임을 확립하는 것.
• 미분가환리 대수(DGLA)의 제어 철학을 $L_\infty$-대수로 일반화하여 변형 문제를 제어하는 것.
• 공통의 대수기하적 프레임워크를 통해 피브레이션과 유리호모토피 유형의 분류를 통합하는 것.

제안 방법

• 특히 수술-테이트 분해와 필터링된 모델을 사용하여 미분가환대수(dgca)로 유리호모토피 유형을 모델링한다.
• 형식적 공간의 변형을 1차 미분이면서 매우어-카르탕 방정식 $(d+p)^2 = 0$를 만족하는, 해상도 차수를 적어도 2만큼 감소시키는 $p$로 표현한다.
• dg 리 대수 $L$에 대해 표준적 구성 $C(L)$를 사용하여 미분가환코알제브라를 부여함으로써, 호모토피 유형을 코알제브라 사상의 연구를 통해 다룰 수 있도록 한다.
• 호모토피 클래스의 코알제브라 사상과 변형의 게이지 등급류 사이의 관계를 밝히기 위해 주요 호모토피 정리를 적용한다.
• 델리뉴와 골드먼-밀슨의 DGLA 제어 철학을 일반화하여, $L_\infty$-대수를 통한 변형 문제 제어를 수행한다.
• 모델의 유도자 대수의 dg 리 대수의 코hom로 구성된 형식적 멱급수환의 몫으로 공통의 변형을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리호모토피 유형의 분류 문제를 어떻게 변형 이론 문제로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 $L_\infty$-대수는 유리호모토피 유형의 변형 공간을 어떻게 제어하는가?
• RQ3 고정된 코homology 대수 $\mathcal{H}$를 가진 유리호모토피 유형의 모듈리 공간은 어떻게 변형의 대수적 다양체의 몫으로 나타나는가?
• RQ4 고정된 섬유 $F$를 가진 피브레이션의 분류 공간은 유리호모토피 유형의 모듈리 공간과 어떤 식으로 관련되는가?
• RQ5 자유 dg 리 대수 $\pi$에 대해 $\operatorname{Der} \pi / \operatorname{ad} \pi$로 나타나는 dg 리 대수는 어떤 것들이 있는가?

주요 결과

• 고정된 코homology 대수 $\mathcal{H}$를 가진 유리호모토피 유형의 집합은 $V/G$와 동형이며, 여기서 $V$는 변형의 콘형 유리대수적 다양체이고 $G$는 프로-유니포텐트 군이다.
• 유리호모토피 유형의 모듈리 공간은 미분가환코알제브라의 경로 성분과 동일시되며, 이는 위상수학적 분류와 대수기하학을 연결한다.
• 고정된 섬유 $F$에 대해, $F \to E \to B$의 유리피브레이션 분류는 사상 $B \to B\operatorname{Aut}(F)$의 호모토피 클래스와 대응하며, 이 분류 공간은 $\operatorname{Der}(F)$로부터 구성된다.
• $F = S^\nu$이고 $\nu$ 가 홀수일 때, 유니버설 피브레이션은 $S^\nu \to E \to K(\mathbb{Q}, \nu+1)$이며, $E$는 수축 가능하다; $\nu$ 가 짝수일 경우, $H(E)$는 대수로서 $H(B) \otimes H(F)$와 동형이 아니다.
• $K(\mathbb{Q}, 4)$ 위의 $S^2$-피브레이션에서의 전도는 0이 아니며, $E$의 코homology는 $S(x)$와 동형이므로 $H(E)$는 $H(B) \otimes H(F)$의 변형임을 보여준다.
• $F = S^{2n} \vee S^{2n}$이고 $B = S^3 \times (\mathbb{C}P^\infty)^r$일 때, 코homology가 $H(F) \otimes H(B)$인 유리호모토피 유형의 공간은 $V / GL(r)$과 동형이며, 여기서 $V$는 $r$개 변수에서 차수 $2n-2$의 동차다항식의 공간이다.