[논문 리뷰] Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality

Rafael J. L. Morcillo, Sinan Yalin|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 54인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 cobar 구성에 의해 dg bialgebra의 변형 이론과 E2-algebra 사이의 유도된 동치를 확립하며, cobar 구성의 고차 호흐실트 복합체가 bialgebra의 변형을 제어하는 자연스러운 E3-구조를 지닌다는 것을 증명한다. 이는 dg bialgebra의 변형 복합체에 대한 Gerstenhaber-Schack의 추측을 해결하고, 대칭 bialgebra에 대한 Kontsevich의 E3-형식성 추측을 증명함으로써, 호모토피 리-bialgebra에 대한 Etingof-Kazhdan 변형 양자화의 새로운, 연관자에 의존하지 않는 증명을 이끌어낸다.

ABSTRACT

A first goal of this paper is to precisely relate the homotopy theories of bialgebras and $E_2$-algebras. For this, we construct a conservative and fully faithful $\infty$-functor from pointed conilpotent homotopy bialgebras to augmented $E_2$-algebras which consists in an appropriate "cobar" construction. Then we prove that the (derived) formal moduli problem of homotopy bialgebras structures on a bialgebra is equivalent to the (derived) formal moduli problem of $E_2$-algebra structures on this "cobar" construction. We show consequently that the $E_3$-algebra structure on the higher Hochschild complex of this cobar construction, given by the solution to the higher Deligne conjecture, controls the deformation theory of this bialgebra. This implies the existence of an $E_3$-structure on the deformation complex of a dg bialgebra, solving a long-standing conjecture of Gerstenhaber-Schack. On this basis we solve a long-standing conjecture of Kontsevich, by proving the $E_3$-formality of the deformation complex of the symmetric bialgebra. This provides as a corollary a new proof of Etingof-Kazdhan deformation quantization of Lie bialgebras which extends to homotopy dg Lie bialgebras and is independent from the choice of an associator. Along the way, we establish new general results of independent interest about the deformation theory of algebraic structures, which shed a new light on various deformation complexes and cohomology theories studied in the literature.

연구 동기 및 목표

• dg bialgebra와 E2-algebra 사이의 정확한 호모토피 이론적 동치를 cobar 구성에 의해 확립하는 것.
• dg bialgebra의 cobar 구성의 고차 호흐실트 복합체가 자연스러운 E3-algebra 구조를 지닌다는 것을 증명하는 것.
• 오랜 기간 동안 남아있던 dg bialgebra의 변형 복합체에 대한 Gerstenhaber-Schack의 E3-구조 추측을 해결하는 것.
• 대칭 bialgebra에 대한 Kontsevich의 E3-형식성 추측을 증명함으로써, Etingof-Kazhdan 변형 양자화의 새로운, 연관자 없는 증명을 이끌어내는 것.
• 다양한 변형 복합체가 문헌에서 어떻게 기능하는지 명확히 하여, 그들이 관련된 유도된 형식적 모듈리 문제를 특성화하는 것.

제안 방법

• 0-연결된 호모토피 결합법칙을 가진 대수들이 콘일포텐트 dg 코알제브라와, 점이 있는 콘일포텐트 호모토피 코결합법칙을 가진 코알제브라 사이의 bar-cobar 수반을 구성하는 것.
• cobar 구성에 의해 연결된 증분 콘일포텐트 호모토피 bialgebra에서 증분 E2-algebra로의 전순수 ∞-함수를 정의하는 것.
• 고차 델리뉴 추측의 해법을 적용하여 cobar 구성의 고차 호흐실트 복합체에 E3-algebra 구조를 도입하는 것.
• bialgebra의 구조에 대한 유도된 형식적 모듈리 문제와 cobar 구성에서의 E2-algebra의 구조에 대한 유도된 형식적 모듈리 문제 사이의 동치를 확립하는 것.
• Lurie의 형식적 모듈리 문제 분류를 적용하여 Gerstenhaber-Schack 복합체의 마우러-카르탕 원소들이 리-bialgebra의 변형을 나타낸다는 것을 연결하는 것.
• n ≥ 3에 대해 En-연산자의 형식성을 이용하여 대칭 bialgebra의 변형 복합체에 대한 E3-형식성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 dg bialgebra의 변형 이론은 cobar 유형의 구성에 의해 E2-algebra의 이론과 대응되는가?
• RQ2 biallygebra의 cobar 구성의 고차 호흐실트 복합체는 자연스러운 E3-algebra 구조를 지니는가?
• RQ3 Gerstenhaber-Schack의 추측에 따르면, dg bialgebra의 변형 복합체는 E3-algebra와 quasi-isomorphic한가?
• RQ4 Kontsevich의 추측에 따르면, 대칭 bialgebra의 변형 복합체는 E3-algebra로서 형식적인가?
• RQ5 Etingof-Kazhdan 변형 양자화는 연관자를 선택하지 않고 E3-형식성으로부터 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 cobar 구성에 의해 점이 있는 콘일포텐트 호모토피 bialgebra에서 증분 E2-algebra로의 보존적이고 전순수 ∞-함수를 구성한다.
• 호모토피 bialgebra의 구조에 대한 유도된 형식적 모듈리 문제와 cobar 구성에서의 E2-algebra의 구조에 대한 유도된 형식적 모듈리 문제 사이의 동치가 성립한다.
• dg bialgebra의 cobar 구성의 고차 호흐실트 복합체는 자연스러운 E3-algebra 구조를 지닌다. 이는 원래 bialgebra의 변형 이론을 제어한다.
• 대칭 bialgebra의 변형 복합체에 대한 E3-형식성이 증명되어 Kontsevich의 추측이 해결된다.
• E3-형식성 정리에 의해, 리-bialgebra에 대한 Etingof-Kazhdan 변형 양자화의 새로운, 연관자에 의존하지 않는 증명을 확보한다.
• 대칭 bialgebra의 Gerstenhaber-Schack 복합체가 호흐실트 코homology 위의 L∞-대수의 구조를 통해 해당 리-bialgebra의 변형 복합체와 quasi-isomorphic하다는 것이 입증된다.