[논문 리뷰] Deformations of chiral algebras

Dimitri Tamarkin|ArXiv.org|2003. 04. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 pro-*-Lie 대수를 사용하여 편향 대수의 변형 이론을 수립하며, 변형 복합체의 코homology가 c-Gerstenhaber 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명한다—Gerstenhaber 대수의 편향 대응체이다. 핵심 결과는 편향 대수 $SK$의 변형과 coisson 괄호 사이의 형식성 추측으로, 이는 pro-*-Lie 대수의 완전한 준동형에 의해 변형과 coisson 구조 사이의 1대1 대응을 암시한다.

ABSTRACT

We start studying chiral algebras (as defined by A. Beilinson and V. Drinfeld) from the point of view of deformation theory. First, we define the notion of deformation of a chiral algebra on a smooth curve $X$ over a bundle of local artinian commutative algebras on $X$ equipped with a flat connection (whereas `usual' algebraic structures are deformed over a local artinian algebra) and we show that such deformations are controlled by a certain *-Lie algebra $\mathfrak g$. Then we try to contemplate a possible additional structure on $\mathfrak g$ and we conjecture that this structure up to homotopy is a chiral analogue of Gerstenhaber algebra, i.e. a coisson algebra with odd coisson bracket (in the terminology of Beilinson-Drinfeld). Finally, we discuss possible applications of this structure to the problem of quantization of coisson algebras.

연구 동기 및 목표

• 표준 Lie 대수 대신 pro-*-Lie 대수를 사용하여 편향 대수의 변형 이론을 확장하기.
• 변형 복합체의 코homology에 편향 대응체인 Gerstenhaber 대수의 구조를 정의하기.
• 편향 대수의 변형과 coisson 괄호 사이의 1대1 대응을 보장하는 형식성 추측을 제안하기.
• 편향 대수의 맥락에서 coisson 대수의 양자화를 위한 코homological 프레임워크 제공하기.
• Kontsevich의 형식성 정리의 일반화를 편향 대수와 매끄러운 곡선 위의 D-모듈 대상으로 확장하기.

제안 방법

• 널리 퍼진 ${\rm D}_X$-대수와 평탄한 접속을 가진 nilpotent 대수에서 편향 대수 $M$의 변형 정의하기.
• 변형을 제어하는 복합체로서 pro-*-Lie 대수 ${\bf def}_M$ 도입하기.
• $H_M[-1]$에 편향 연산 $[\cdot,\cdot]$를 사용하여 *-Lie 괄호를 구성하고, 코homology에 cup 곱 $\cup_h$ 정의하기.
• 괄호와 cup 곱을 연결하는 Leibniz 항등식을 통해 c-Gerstenhaber 대수의 구조 정의: $f = e + e^T$.
• 운영자 구조 $P_*$와 $!$-텐서곱을 사용하여 편향 연산과 그 합성 정의하기.
• 형식성 추측 제안: $\mathbf{def}_{SK}$와 $H_{SK}$는 완전한 준동형이며, 이 경우 coisson 괄호와 변형 사이의 전단사 대응을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Lie 대수 대신 pro-*-Lie 대수를 사용하여 편향 대수의 변형 이론을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 편향 대수의 변형 복합체의 코homology에 어떤 구조가 나타나는가?
• RQ3 Gerstenhaber 대수의 편향 대응체를 정의할 수 있으며, 이는 편향 연산과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Kontsevich의 형식성 정리와 유사한 추측이 $SK$의 변형과 coisson 괄호 사이에 존재하는가?
• RQ5 $\mathbf{def}_{SK}$와 $H_{SK}$ 사이의 완전한 준동형이 coisson 괄호와 편향 대수의 변형 사이의 1대1 대응을 유도하는가?

주요 결과

• 편향 대수의 변형 pro-*-Lie 대수의 코homology는 자연스럽게 c-Gerstenhaber 대수의 구조를 지닌다.
• $H_M[-1]$에서의 cup 곱 $\cup_h$ 는 결합법칙과 교환법칙을 만족하므로 $(H_M)^l[-1]$은 ${\cal D}_X$-교환 대수이다.
• 편향 괄호와 cup 곱은 Leibniz 항등식을 만족한다: $f = e + e^T$, 여기서 $f$는 괄호이고 $e$는 괄호와의 조합을 통한 cup 곱이다.
• $M = (SK)^r$ 인 경우, $H_M$에서의 cup 곱은 대칭 대수 $S(K^\lor[-1] \oplus K)$의 자연스러운 곱과 일치한다.
• $G = (K^\lor[-1] \oplus K)^r$에서의 *-Lie 괄호는 $K \boxtimes K^\lor[-1]$에서만 비영이 되며, 여기서는 자연스러운 쌍대성 $K^\lor \otimes K \to \omega_X$로 주어진다.
• 형식성 추측은 $\mathbf{def}_{SK}$와 $H_{SK}$가 완전한 준동형임을 제안하며, 이가 참이라면 $SK \otimes A$ 위의 $A$-선형 coisson 괄호의 동형류(모듈로 $\mathfrak{m}_A$에서 0)와 $A$ 위에서의 $SK$의 변형의 동형류 사이의 전단사 대응이 유도된다.