[논문 리뷰] Deformations of generalized calibrations and compact non-Kahler manifolds with vanishing first Chern class

J. Gutowski, Stefan Ivanov외 1명|arXiv (Cornell University)|2002. 05. 01.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 구조군이 감소한 리만 다양체 U(n), SU(n), G₂, 및 Spin(7)에서 일반화된 캘리브레이션을 연구하며, 이러한 군을 보존하는 토션을 가진 메트릭 접속을 사용한다. 이들 캘리브레이션을 가진 부분다양체의 모듈리 공간이 유한차원임을 증명하고, 허프 fibrations 및 Bismut 접속을 가진 컴팩트 비카일러 다양체들(특히 SU(n) 호로노미)의 명시적 예를 제시함으로써, 카일러 설정을 초월한 칼라비-유만 다양체를 일반화한다.

ABSTRACT

We investigate the deformation theory of a class of generalized calibrations in Riemannian manifolds for which the tangent bundle has reduced structure group U(n), SU(n), G_2 and Spin(7). For this we use the property of the associated calibration form to be parallel with respect to a metric connection which may have non-vanishing torsion. In all these cases, we find that if there is a moduli space, then it is finite dimensional. We present various examples of generalized calibrations that include almost hermitian manifolds with structure group U(n) or SU(n), nearly parallel G_2 manifolds and group manifolds. We find that some Hopf fibrations are deformation families of generalized calibrations. In addition, we give sufficient conditions for a hermitian manifold (M,g,J) to admit Chern and Bismut connections with holonomy contained in SU(n). In particular we show that any connected sum of $k \geq 3$ copies of $S^3 imes S^3$ admits a hermitian structure for which the restricted holonomy of a Bismut connection is contained in SU(3).

연구 동기 및 목표

• 구조군이 감소한 리만 다양체에서 일반화된 캘리브레이션의 변형 이론을 조사한다. 이는 U(n), SU(n), G₂, 및 Spin(7)을 포함한다.
• 일반화된 캘리브레이션 하에서 캘리브레이션 부분다양체의 모듈리 공간을 분석하여, 변형 시스템이 타원적일 경우 그 공간이 유한차원임을 보인다.
• 제로차수 코hom로의 첫 번째 코hom로가 없는 컴팩트 비카일러 다양체에서 Bismut 또는 크렌 접속이 SU(n) 호로노미를 가지는 명시적 예를 구축한다.
• 비카일러 헤르미트 다양체에서 칼라비-유만 정리를 일반화하기 위해, Bismut 접속의 SU(n) 호로노미를 위한 충분조건을 규명한다.

제안 방법

• 비영 토션을 가진 메트릭 접속을 사용하며, 그 호로노미가 U(n), SU(n), G₂, 또는 Spin(7)으로 감소한다. 이들에서 폐쇄되지 않은 평행 캘리브레이션 형식을 활용한다.
• 일반화된 캘리브레이션에 대한 변형 이론을 적용하여, 관련 미분 시스템이 타원적임을 보이고, 이는 모듈리 공간이 유한차원임을 의미한다.
• 에너지 함수 E(Z) = Vol(Z) − ∫_Z ψ의 제2차 변위를 분석하여 캘리브레이션 부분다양체의 안정성을 연구한다.
• 군 다양체, 동차 공간, 복소 구조를 사용하여 명시적 예를 구축한다. 이는 복소 헤이젠베르크 군과 그 컴팩트 몫을 포함한다.
• 헤르미트 다양체에서 Bismut 및 크렌 접속을 활용하며, 그 호로노미와 곡률을 계산하여 SU(n) 감소를 검증한다.
• Aeppli 코homology와 Michelsohn의 특성화를 사용하여 균형 잡힌 구조와 Bismut 접속의 리치-평탄 조건을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 헤르미트 다양체가 SU(n)에 포함된 호로노미를 가진 Bismut 접속을 가질 수 있는가?
• RQ2 토션을 가진 메트릭 접속을 가진 다양체에서 일반화된 캘리브레이션 부분다양체의 모듈리 공간의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 첫 번째 코hom로가 0이고 비카일러인 컴팩트 헤르미트 다양체가 SU(n) 호로노미를 가진 Bismut 접속을 가질 수 있는가?
• RQ4 허프 피브레이션은 호로노미 감소 다양체에서 일반화된 캘리브레이션의 가닥으로 나타나는가?
• RQ5 헤르미트 다양체가 균형 잡힌 구조를 가지며 Bismut 접속이 리치-평탄함을 가지기 위한 충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• 변형 시스템이 타원적일 경우, 일반화된 캘리브레이션 부분다양체의 모듈리 공간은 항상 유한차원이며, 이는 고려된 모든 호로노미 군에서 성립한다.
• 복소 Iwasawa 다양체는 헤이젠베르크 군의 컴팩트 몫으로서 비카일러이지만, Bismut 접속의 호로노미가 SU(3)에 포함됨을 보임.
• Iwasawa 다양체에서 (0,3)-형식 ψ = α₁ ∧ α₂ ∧ α₃는 크렌 및 Bismut 접속에 대해 모두 평행하며, 이는 SU(3) 호로노미를 확인한다.
• Iwasawa 다양체 내에서 Killing 벡터장 e₃에 의해 생성되는 1-매개변수 실수 3차원 부분다양체 가닥은 SAS 캘리브레이션의 변형 가닥을 이룬다.
• S³ × S³의 k ≥ 3개의 연결합은 Bismut 접속의 제한된 호로노미가 SU(3)에 포함되는 헤르미트 구조를 가진다.
• 첫 번째 코hom로가 0이고 코hom로지컬 카일러 조건을 만족하는 컴팩트 2n차원 헤르미트 다양체는 리치-평탄한 Bismut 접속을 가진 헤르미트 구조를 가진다.