[논문 리뷰] Deformations of Generalized Kahler Structures and Bihermitian Structures

Ryushi Goto|ArXiv.org|2009. 10. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 복소 및 켈러 변형 이론을 활용하여, 헬름홀트 폴라르 구조를 통해 컴팩트 켈러 다양체 위에 새로운 가족의 비헤르미트ian 구조를 구성한다. 주요 결과는 코homological 조건 하에서, $[\beta \cdot \omega] \neq 0$ 이면 $t$가 작을 때조차도 변형된 복소 구조 $J_t^-$ 가 원래의 $J$ 와 복소다양체적으로 동치가 아니라는 것을 보여주며, 이는 비동치인 비헤르미트ian 구조의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

Let $(X, J)$ be a compact Kahler manifold with a non-zero holomorphic Poisson structure $β$. If the obstruction space for deformations of generalized complex structures on $(X, J)$ vanishes, we obtain a family of deformations of non-trivial bihermitian structures $(J, J^-_t, h_t)$ on $X$ by using $β$. In addition, if the class $[β\cdot ω]$ does not vanish for a Kähler form $ω$, then the complex structure $J_t^-$ is not equivalent to $J$ for small $t eq 0$ under diffeomorphisms. Our method is based on the construction of generalized complex and Kahler structures developed in \cite{Go1} and \cite{Go2}. As applications, we obtain such deformations of bihermitian structures on del Pezzo surfaces, the Hirtzebruch surfaces $F_2, F_3$ and degenerate del Pezzo surfaces. Further we show that del Pezzo surfaces $S_n (5\leq n\leq 8)$, $F_2$ and degenerate del Pezzo surfaces admit bihermitian structures for which $(X, J^-_t)$ is not biholomorphic to $(X, J)$ for small $t eq 0$.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 켈러 다양체 위에 헬름홀트 폴라르 구조를 사용하여 새로운 비헤르미트ian 구조의 가족을 구성한다.
• 변형된 복소 구조 $J_t^-$ 가 어떤 미분동형사상에 의해서도 원래의 $J$ 와 동치가 아니게 되는 조건을 규명한다.
• 델 페조 표면, $F_2$, $F_3$, 그리고 열화된 델 페조 표면 위에 서로 다른 비헤르미트ian 구조의 존재를 확립한다.
• 일반화된 복소 구조 변형 이론을 적용하여 비동치인 복소 구조를 가진 비동치의 비헤르미트ian 구조를 생성한다.
• 코다이라-스펜서 클래스 $[\beta \cdot \omega]$ 가 변형된 복소 구조의 미분동형사상 동치성을 차단하는 데서 수행하는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 이전 연구 [10, 11] 에서 제안한 일반화된 복소 및 일반화된 켈러 구조 프레임워크를 사용하여 변형을 구성한다.
• 일반화된 복소 구조의 맥락에서 마우레르-카르탕 방정식을 적용하여 무한소 변형을 생성한다.
• 코다이라-스펜서 클래스 $-2[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ 를 통해 복소 구조 $J_t^-$ 의 변형을 구성한다.
• 변형의 차단 공간이 0이 되도록 보장하기 위해 조건 $\oplus_{i=0}^3 H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta) = 0$ 을 도입한다.
• 변형 흐름을 분석하기 위해 $\beta \cdot \omega$ 의 수축을 사용하며, 이는 $T^{1,0}_J$ 에 값을 갖는 $\overline{\partial}$-폐쇄된 $(0,1)$-형식을 정의하여 변형 방향을 결정한다.
• 일반화된 켈러 구조와 비헤르미트ian 구조 사이의 일대일 대응 관계를 활용한다. 이 관계는 $-d^c_+\omega_+ = d^c_-\omega_- = db$ 를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 켈러 다양체 $M$ 에서 헬름홀트 폴라르 구조 $\beta$ 가 $J_t^+ = J$ 를 만족하는 비헤르미트ian 구조의 비자명한 변형을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 작은 $t \neq 0$ 에서도 어떤 미분동형사상에 의해서도 $J_t^-$ 가 $J$ 와 동치가 아니게 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 클래스 $[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ 는 변형된 복소 구조의 복소다양체적 유형을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 어떤 컴팩트 복소 표면이 $J_t^-$ 가 $J$ 와 복소다양체적으로 동치가 아니게 되는 비헤르미트ian 구조를 가질 수 있는가?
• RQ5 일반화된 복소 구조 변형 이론을 어떻게 활용하여 명시적인 비동치 비헤르미트ian 구조의 가족을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $i=0$ 에서 $3$ 까지의 $H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta)$ 가 0이 되는 컴팩트 켈러 다양체에서는, 헬름홀트 폴라르 구조 $\beta$ 가 $J_t^+ = J$ 를 만족하는 비헤르미트ian 구조의 일파라미터 가족 $(J, J_t^-, h_t)$ 을 생성한다.
• 변형된 복소 구조 $J_t^-$ 의 무한소 변형은 $t=0$ 에서 $\frac{d}{dt}J_t^-|_{t=0} = -2(\beta \cdot \omega + \overline{\beta} \cdot \omega)$ 로 주어지며, $\beta \neq 0$ 이면 이 값은 0이 아니다.
• 만약 $H^1(M, \Theta)$ 에서 $[\beta \cdot \omega] \neq 0$ 이면, 작은 $t \neq 0$ 에서도 $J_t^-$ 는 어떤 미분동형사상에 의해서도 $J$ 와 동치가 아니며, 이는 서로 다른 복소 구조를 보장한다.
• 델 페조 표면 $S_n$ ($5 \leq n \leq 8$), $F_2$, $F_3$, 그리고 열화된 델 페조 표면은 이러한 비동치 비헤르미트ian 구조를 가진다.
• 이 구성은 $(X, J_t^-)$ 가 $(X, J)$ 와 복소다양체적으로 동치가 아니게 되는 명시적인 비헤르미트ian 구조의 예를 제공하며, 이러한 표면들 위에 서로 다른 비헤르미트ian 구조의 존재를 확인한다.
• 이 방법은 일반화된 복소 구조의 변형 공간이 $J_t^-$ 의 코다이라-스펜서 클래스를 통해 비자명한 비헤르미트ian 구조의 존재를 제어함을 확인한다.