[논문 리뷰] Deformations of reducible representations of knot groups into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$

Michael Heusener, Ouardia Medjerab|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 18.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 링크 군의 기저를 갖는 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$로의 분해 가능하고 메타아벨 표현의 변형을 연구하며, $\lambda^2$가 앨리오크산 다항식의 단순 근이고 $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$이 $2 \leq k \leq n-1$일 때, 관련 표현 $\rho_{\lambda,n}^z = r_n \circ \rho_\lambda^z$는 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-표현 다양체의 매끄러운 점이며, 차원 $(n+2)(n-1)$인 유일한 성분에 속하며, 이 성분에는 기약 변형이 포함되어 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Let $K$ be a knot in $S^3$ and $X$ its complement. We study deformations of non-abelian, metabelian, reducible representations of the knot group $π\_1(X)$ into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ which are associated to a simple root of the Alexander polynomial. We prove that certain of these metabelian reducible representations are smooth points of the $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-representation variety and that they have irreducible deformations.

연구 동기 및 목표

• 기본적으로 링크 군의 기저를 갖는 메타아벨 표현의 변형 이론을 연구한다.
• 이러한 표현이 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-표현 다양체의 매끄러운 점이 되는 조건을 규명한다.
• 이 표현들에 대해 기약 변형의 존재를 확립한다.
• 기본적으로 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$에서 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$로의 결과를 일반화한다.
• 기본적으로 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$의 $n$차원 기약 표현을 통해 수행한다.

제안 방법

• 기본적으로 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$에서 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$로의 $n$차원 기약 유리 표현 $r_n: \mathrm{SL}(2,\mathbf{C}) \to \mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$를 사용하여 메타아벨 표현을 올린다.
• 표현 $\rho_{\lambda,n}^z$에서의 접선 공간의 차원을 결정하기 위해 코homology $H^1(\Gamma_K; \mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})_{\rho_{\lambda,n}^z})$를 분석한다.
• 표현 다양체에서 $\rho_{\lambda,n}^z$가 매끄러운 점임을 확인하기 위해 코homological 기준을 적용한다.
• 기본적으로 생성자의 고유공간의 그라스만만을 사용하여 $R_6(\Gamma_{3_1})$에서 $42$차원 성분을 구성한다.
• 스카르의 보조정리를 사용하여 링크 군의 중심의 상이 $\mathrm{SL}(6,\mathbf{C})$에서 스칼라 행렬에 제한됨을 암시한다.
• 컴퓨터 지원 계산을 통해 $\dim H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z}) = 42$임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적으로 기저를 갖는 메타아벨 표현 $\rho_{\lambda,n}^z$가 $R(\Gamma_K, \mathrm{SL}(n,\mathbf{C}))$에서 매끄러운 점이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 표현이 기약 변형을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 표현 다양체에서 $\rho_{\lambda,n}^z$를 포함하는 기약 성분의 차원은 무엇인가?
• RQ4 기본적으로 $\lambda^2$가 앨리오크산 다항식의 단순 근임을 가정할 때, 고차원에서의 변형 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기본적으로 $\rho_{\lambda,n}^z$를 포함하는 성분을 명시적으로 구성하고, 이 성분이 기약 표현을 포함함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 기본적으로 $\lambda^2$가 앨리오크산 다항식의 단순 근이고 $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$이 $2 \leq k \leq n-1$일 때, 표현 $\rho_{\lambda,n}^z$는 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-표현 다양체의 매끄러운 점이다.
• 표현 $\rho_{\lambda,n}^z$는 차원 $(n+2)(n-1)$인 유일한 성분 $R_{\lambda,n}$에 속한다.
• 테플로우 링크 $3_1$에 대해, 표현 다양체 $R_6(\Gamma_{3_1})$는 $\rho_{\lambda,6}^z$와 일반적인 기약 표현을 포함하는 $42$차원 성분 $C$를 포함한다.
• 첫 번째 코homology 군의 차원 $\dim H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z})$는 정확히 $42$이며, 이는 $\rho_{\lambda,6}^z$의 매끄러움을 확인한다.
• 성분 $C$의 구성은 그라스만만 $\mathrm{Gr}(3,6)$과 $\mathrm{Gr}(2,6)$에서 일반적인 고유공간을 선택하는 데 의존하며, 이는 $42$차원의 표현 가중치를 제공한다.
• 표현 $\rho_{\lambda,6}^z$는 대각 표현과 쌍대가 아니며, 그 궤도는 대각 표현 $\rho_{\lambda,6}$의 궤도의 폐쇄에 속한다.