[논문 리뷰] Deformations of Singular Minimal Hypersurfaces I, Isolated Singularities

Zhihan Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 64인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 차원 ≥ 7에서 엄격하게 안정적이고 엄격하게 최소화하는 접선 콘을 갖는 특이 최소 초곡면 주변에서 최소 초곡면의 존재성과 일반적인 미분 가능성(유일성)을 확립한다. 선형 분석과 자비 필드의 점근적 전개를 이용하여, 미터릭의 소규모 변화에 대해 근처 최소 초곡면이 존재하고 일반적인 변화에 대해 미분 가능하며, 이러한 초곡면이 이웃 영역 내에서 유일하게 호모로지적으로 최소화됨을 증명한다.

ABSTRACT

Locally stable minimal hypersurface could have singularities in dimension $\geq 7$ in general, locally modeled on stable and area-minimizing cones in the Euclidean spaces. In this paper, we present different aspects of how these singularities may affect the local behavior of minimal hypersurfaces. First, given a non-degenerate minimal hypersurface with strictly stable and strictly minimizing tangent cone at each singular point, under any small perturbation of the metric, we show the existence of a nearby minimal hypersurface under new metric. For a generic choice of perturbation direction, we show the entire smoothness of the resulting minimal hypersurface. Second, given a strictly stable minimal hypersurface $Σ$ with strictly minimizing tangent cone at each singular point, we show that $Σ$ is uniquely homologically minimizing in its neighborhood. Lastly, given a family of stable minimal hypersurfaces multiplicity $1$ converges to a stable minimal hypersurface $Σ$ in an eight manifold, we show that there exists a non-trivial Jacobi field on $Σ$ induced by these converging hypersurfaces, which generalizes a result by Ben Sharp in smooth case; Moreover, positivity of this Jacobi field implies smoothness of the converging sequence.

연구 동기 및 목표

• 미터릭 변화에 대한 특이 최소 초곡면의 국소 모듈리 문제를 다루는 것.
• 엄격하게 안정적이고 최소화하는 접선 콘을 갖는 특이점 주변에서 최소 초곡면의 일반적인 정칙성을 확립하는 것.
• 특이 최소 초곡면이 이웃 영역 내에서 유일하게 호모로지적으로 최소화됨을 증명하는 것.
• 벤 샤프의 자비 필드 결과를 특이 설정으로 일반화하여, 안정된 초곡면의 수렴하는 수열로부터 비자명한 자비 필드가 유도됨을 보이는 것.
• 특이 최소 초곡면의 이웃 영역의 강성과 분할 성질을 조사하는 것.

제안 방법

• 고립된 특이점 근처에서 자비 연산자에 대한 선형 분석을 수행하며, $L^2$-집중 방지 및 점근적 행동에 중점을 둔다.
• 안정된 초원뿔의 기하학을 활용하여 특이점 근처에서 자비 방정식의 해에 대한 점근적 전개를 수행한다.
• 비퇴화성 및 엄격한 안정성 조건 하에서, 미터릭-최소 초곡면 쌍의 공간에 대해 프레드홀름 이론과 반바나흐 다양체 구조를 적용한다.
• 소규모 $C^4$ 미터릭 변화에 대해 근처 최소 초곡면의 존재를 보장하는 일방향 변형을 페르투베이션 이론을 통해 구성한다.
• 바르바르드 수렴과 인덱스 비교를 활용하여 안정된 초곡면의 수열을 극한에서의 비자명한 자비 필드와 연결한다.
• 강한 최대 최소 성질과 제약 최소화를 활용하여 최소화 초곡면의 유일성과 강성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 닫힌 국소 안정 최소 초곡면은 자비 필드에 대해 $L^2$-집중 방지 성질을 만족하는가?
• RQ2 특이 최소 초곡면으로 수렴하는 안정 최소 초곡면의 수열과 관련된 비자명한 자비 필드를 정의할 수 있는가?
• RQ3 고정된 소규모 미터릭 변화에 대해 근처 최소 초곡면이 유일한가, 특히 시몬스 콘의 경우에 대해 유일한가?
• RQ4 고립된 특이점을 갖는 특이 최소 초곡면 주변에 평균 볼록 분할을 구성할 수 있는가?
• RQ5 비자명한 자비 필드의 존재는 수렴하는 초곡면 시퀀스의 미분 가능성과 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon > 0$에 대해, $\|g' - g\|_{C^4} \leq \delta$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재하여, $\Sigma$의 $\epsilon$-이웃 영역 내에 근처 최소 초곡면 $\Sigma'$ 가 존재한다.
• 모든 $C^k$-일반적인 변화 $f \in C^\infty(M)$ 에 대해, 유도된 최소 초곡면 $\Sigma'$ 는 미분 가능하며, 이는 일반적인 정칙성을 확립한다.
• 주어진 조건 하에 특이 최소 초곡면 $\Sigma$ 는 이웃 영역 내에서 유일하게 호모로지적으로 최소화된다.
• 8차원 다각형에서 안정된 최소 초곡면의 수렴 수열에 의해 유도된 비자명한 자비 필드가 $\Sigma$ 에 존재한다.
• 유도된 자비 필드의 양성은 수렴 수열의 미분 가능성으로 이어지며, 이는 매끄러운 경우의 결과를 일반화한다.
• 접선 콘의 엄격한 최소화 조건이 만족되지 않으면 결과가 성립하지 않으며, 이는 8.1조에서 보여지며, 이 조건이 필수적임을 시사한다.