[논문 리뷰] Deforming complete Hermitian metrics with unbounded curvature

Albert Chau, Ka-Fai Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 26.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 초기 켈러 메트릭이 비유계 곡률을 가질 수 있는 비콤팩트 복소다양체 위에서 켈러-리치 흐름의 단기 존재성과 장기 존재성을 확립한다. 초기 메트릭을 유계 곡률을 가진 매끄럽고 완비된 켈러 메트릭들의 균일하게 등가인 수열로 근사함으로써, 저자들은 t > 0일 때 흐름이 매끄럽고 완비되며 유계 곡률을 유지함을 증명하며, t = 0으로의 연속적 연장이 가능함을 보인다.

ABSTRACT

We produce solutions to the Kähler-Ricci flow emerging from complete initial metrics $g_0$ which are $C^0$ Hermitian limits of Kähler metrics. Of particular interest is when $g_0$ is Kähler with unbounded curvature. We provide such solutions for a wide class of $U(n)$-invariant Kähler metrics $g_0$ on $n$ dimensional complex Euclidean space, many of which having unbounded curvature. As a special case we have the following Corollary: The Kähler-Ricci flow has a smooth short time solution starting from any smooth complete $U(n)$-invariant Käbler metric on $\C^n$ with either non-negative or non-positive holomorphic bisectional curvature, and the solution exists for all time in the case of non-positive curvature.

연구 동기 및 목표

• 초기 메트릭이 비유계 곡률을 가질 때도 완비된 비콤팩트 켈러 다양체 위에서 켈러-리치 흐름의 단기 존재성을 확립하는 것.
• 이전의 비유계 곡률을 가진 리치 흐름 결과를 고차원에서 켈러-리치 흐름으로 확장하는 것.
• 초기 메트릭이 곡률에 대해 유계가 아니어도, 켈러-리치 흐름이 완비성을 유지하고 t > 0일 때 유계 곡률을 유도할 수 있는 조건을 제공하는 것.
• 특히 비음성 또는 비양성 헬름홀로닉 이분절 곡률을 가진 경우, C^n 위에서 U(n)-불변 켈러 메트릭에 대한 흐름의 거동을 분석하는 것.
• 특히 헬름홀로닉 이분절 곡률에 대해, 흐름 존재 시간 T의 명시적 하한을 도출하는 것.

제안 방법

• 초기 완비 헤르미트 메트릭 $g_0$를 유계 곡률을 가진 매끄럽고 완비된 켈러 메트릭들의 수열 $\{h_{k,0}\}$로 근사한다. 이 수열은 컴팩트 부분집합에서 $g_0$로 균일 수렴한다.
• 유계 곡률을 가진 완비 켈러 메트릭 $\hat{g}$에 대해 균일 등가성 $C^{-1}\hat{g} \leq h_{k,0} \leq C\hat{g}$를 이용하여 기하학적 제어를 하고 체적과 굴절 반경의 균일한 하한을 확보한다.
• 편미분 방정식 기법을 사용하여 $M \times (0,T)$ 위에서 켈러-리치 흐름을 풀며, t > 0일 때 매끄럽고 유계 곡률을 보장한다.
• 근사 수열의 매끄러운 수렴 조건 하에서 해가 $M \times [0,T)$로 연속적으로 연장되며, $g(0) = g_0$임을 확립한다.
• 체적 비교와 지오데식 볼 커버링 기법을 사용하여 단위 지오데식 볼의 체적에 대한 균일한 하한을 증명함으로써, t > 0일 때 유계 기하학을 확보한다.
• 기존의 Cao의 시가르 솔리톤과 체적 성장 결과를 활용하여, $g$가 알려진 유계 곡률과 체적 성장을 가진 메트릭과 비교되며, 굴절 반경과 체적에 대한 균일한 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 복소다양체 위에서 초기 메트릭이 비유계 곡률을 가질 경우, 켈러-리치 흐름을 해결할 수 있는가?
• RQ2 초기 메트릭이 비유계 곡률을 가질 때, 켈러-리치 흐름이 완비성을 유지하고 t > 0일 때 유계 곡률을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유계 곡률, 특히 헬름홀로닉 이분절 곡률에 따라 흐름 존재 시간 $T$는 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ4 특히 비음성 또는 비양성 헬름홀로닉 이분절 곡률을 가진 경우, C^n 위에서 U(n)-불변 켈러 메트릭에 대한 흐름은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 유계 곡률을 가진 완비 켈러 메트릭 $\hat{g}$를, |u|와 $|\nabla u|_{g_0}$의 선형 성장 이하 성장률을 가진 잠재함수 u에 의해 변형한 경우, 흐름을 시작할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 메트릭 $g_0$가 유계 곡률을 가진 매끄럽고 완비된 켈러 메트릭들의 균일 등가 수열의 $C^0$ 극한일 경우, $M \times (0,T)$ 위에서 매끄럽고 완비되며 t > 0일 때 유계 곡률을 가지는 해가 존재하며, 이는 $M \times [0,T)$로 연속적으로 연장되며 $g(0) = g_0$를 만족한다.
• C^n 위에서 비유계 곡률을 가진 U(n)-불변 켈러 메트릭에 대해, 헬름홀로닉 이분절 곡률이 음이면 흐름은 항상 존재한다.
• 만약 $g_0$의 헬름홀로닉 이분절 곡률이 $K > 0$ 이하로 유계이면, 흐름은 적어도 $[0, 1/(2nK))$ 동안 존재한다.
• 존재 시간 $T$는 헬름홀로닉 이분절 곡률의 상한에 따라 아래에서 추정 가능하며, $K \leq 0$이면 $T = \infty$이다.
• C^n 위에서 $g_0$가 비음성 또는 비양성 헬름홀로닉 이분절 곡률을 가진 매끄럽고 완비된 U(n)-불변 켈러 메트릭일 경우, 흐름은 존재하며, 음성 곡률의 경우 전역 존재가 보장된다.
• 유계 곡률을 가진 완비 켈러 메트릭 $\hat{g}$를, |u|와 $|\nabla u|_{g_0}$의 선형 성장 이하 성장률을 가진 잠재함수 u에 의해 변형한 경우, 어떤 $T > 0$에 대해 $[0,T)$ 동안 흐름이 존재하며, t > 0일 때 유계 곡률을 가진다.