[논문 리뷰] Degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 31.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 17인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 로그 함수와 비탄성 지수 함수를 포함하는 생성함수를 통해 정의된 제2종 비탄성 창히 수와 다항식을 소개한다. p-진 페르미온 적분과 스틸링 수의 일종인 제1종 및 제2종 스틸링 수와 같은 특수 수열을 이용하여, 이러한 다항식과 칼리츠의 비탄성 오일러 다항식, 고차 비탄성 창히 다항식 간의 새로운 항등식을 수립한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind which are different from the previously introduced degenerate Changhee numbers and polynomials by Kwon-Kim-Seo (see [11]). We investigate some interesting identities and properties for these numbers and polynomials. In addition, we give some new relations between the degenerate Changhee polynomials of the second kind and the Carlitz's degenerate Euler polynomials.

연구 동기 및 목표

• 이전에 연구된 비탄성 창히 다항식과 구별되는 제2종 비탄성 창히 수와 다항식을 정의하고 조사하는 것.
• p-진 페르미온 적분을 이용하여 이러한 비탄성 다항식과 관련된 새로운 항등식과 성질을 수립하는 것.
• 제2종 비탄성 창히 다항식과 칼리츠의 비탄성 오일러 다항식 간의 관계를 탐구하는 것.
• 스틸링 수와 비탄성 수열을 이용하여 고차 비탄성 창히 다항식의 명시적 공식을 유도하는 것.
• 이러한 다항식에 대한 복합 항등식과 생성함수 관계를 제시하여 그 조합론적 및 산술적 이해를 향상시키는 것.

제안 방법

• 생성함수 $ \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} $ 를 통해 제2종 비탄성 창히 다항식을 정의한다.
• 적분 항등식을 유도하기 위해 p-진 페르미온 적분 표현식 $ \int_{\mathbb{Z}_p} (1 + \lambda \log(1+t))^{(x+y)/\lambda} d\mu_{-1}(y) $ 을 사용한다.
• 비탄성 매개변수를 포함한 로그 및 지수 생성함수의 변환을 적용한다.
• 제1종 스틸링 수 $ S_1(n,k) $ 과 제2종 스틸링 수 $ S_2(n,k) $, 그리고 그 비탄성 유사체 $ S_{2,\lambda}(n,k) $ 를 활용하여 다항식 계수를 표현한다.
• 생성함수의 곱 전개를 통해 복합 항등식을 유도하며, 예를 들어 $ \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $ 와 같은 형태를 다룬다.
• 이항계수와 부호가 있는 스틸링 유형의 합을 이용하여 고차 비탄성 창히 다항식과 비탄성 오일러 수 간의 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제2종 비탄성 창히 다항식은 어떻게 체계적으로 정의되고 이전에 연구된 비탄성 창히 다항식과 어떻게 구별될 수 있는가?
• RQ2 이 다항식의 p-진 페르미온 적분 표현식으로부터 어떤 항등식과 구조적 성질이 도출되는가?
• RQ3 제2종 비탄성 창히 다항식과 칼리츠의 비탄성 오일러 다항식 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 고차 비탄성 창히 다항식은 스틸링 수와 비탄성 수열과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 생성함수 기법과 조합 항등식을 이용하여 이러한 다항식에 대해 명시적 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제2종 비탄성 창히 다항식은 생성함수 $ \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} $ 를 통해 정의된다.
• 모든 $ n \geq 0 $, $ r \in \mathbb{N} $ 에 대해 항등식 $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $ 가 성립하며, 이는 복합 구조를 나타낸다.
• 닫힌 형태의 표현식이 도출되었으며, $ Ch_{n,\lambda}^{(r)} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(k,m) S_1(n,k) $ 이다. 이는 다항식을 비탄성 스틸링 수와 연결한다.
• 관계식 $ \sum_{m=0}^{n} Ch_m^{(r)}(x) S_{2,\lambda}(n,m) = \sum_{m=0}^{n} Ch_{m,\lambda}^{(r)}(x) S_2(n,m) $ 는 고전적 스틸링 수와 비탄성 스틸링 수를 연결한다.
• 고차 비탄성 창히 다항식은 $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) Ch_{n-k,\lambda}^{(r)} $ 를 만족하며, 이는 다변수적 구조를 드러낸다.
• 비탄성 오일러 수 $ \mathcal{E}_{n,\lambda}^{(r)} $ 는 $ \sum_{m=0}^{n} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(n,m) $ 로 표현 가능하며, 새로운 조합론적 공식을 제공한다.