[논문 리뷰] Degenerate-parabolic partial differential equations with unbounded coefficients, martingale problems, and a mimicking theorem for Ito processes

Paul M. N. Feehan, Camelia A. Pop|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 20.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계에서의 비퇴화성과 관련된 가중 허더 공간에서 유계가 아닌 선형 성장 계수를 갖는 탈퇴-포물형 PDE의 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이 결과들은 수학 금융 및 확산 과정에 관련된 비유계 및 탈퇴한 설정으로 스트로크와 바라다한의 프레임워크를 확장하여 탈퇴-타원형 연산자의 믹싱 문제의 잘 정의됨을 해결한다.

ABSTRACT

Motivated by applications to probability and mathematical finance, we consider a parabolic partial differential equation on a half-space whose coefficients are suitably Holder continuous and allowed to grow linearly in the spatial variable and which become degenerate along the boundary of the half-space. We establish existence and uniqueness of solutions in weighted Holder spaces which incorporate both the degeneracy at the boundary and the unboundedness of the coefficients. In our companion article [arXiv:1211.4636], we apply the main result of this article to show that the martingale problem associated with a degenerate-elliptic partial differential operator is well-posed in the sense of Stroock and Varadhan.

연구 동기 및 목표

• 반평면에서 유계가 아닌 선형 성장 계수를 갖는 탈퇴-포물형 PDE의 해의 존재성과 유일성을 다루는 것.
• 가중 허더 공간을 통해 경계에서의 비퇴화성과 계수의 비유계성을 동시에 고려하는 것.
• 탈퇴 및 비유계 설정에서 믹싱 문제의 잘 정의됨을 위한 이론적 기반을 구축하는 것.
• 이토 과정의 탈퇴한 분산 계수를 포함하는 확률론 및 수학 금융 분야의 응용을 지원하는 것.

제안 방법

• 공간 변수에 대해 선형적으로 성장하는 허더 연속 계수를 갖는 반평면에서의 포물형 PDE 분석.
• 경계에서의 비퇴화성과 계수의 비유계성을 동시에 다루기 위해 가중 허더 공간의 사용.
• 특히 믹싱 문제 공식화를 통해 PDE 해와 확률 과정을 연결하는 확률론적 기법의 적용.
• 동반 논문 [arXiv:1211.4636]의 결과를 활용하여 스트로크와 바라다한의 의미에서 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 민킹 문제의 해를 통해 이토 과정에 대한 믹킹 정리 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계가 아닌 계수를 갖는 탈퇴-포물형 PDE가 가중 허더 공간에서 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해 공간에서 경계에서의 비퇴화성과 계수의 선형 성장을 동시에 다룰 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 유계가 아닌 계수를 갖는 탈퇴-타원형 연산자에 대해 믹싱 문제가 잘 정의되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 해당 믹싱 문제의 해로부터 이토 과정에 대한 믹킹 정리를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유계가 아닌 선형 성장 계수를 갖는 탈퇴-포물형 PDE에 대해 가중 허더 공간에서 해의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 해 공간은 경계에서의 비퇴화성과 계수의 비유계성을 효과적으로 반영한다.
• 탈퇴-타원형 연산자와 관련된 믹싱 문제가 스트로크와 바라다한의 의미에서 잘 정의되어 있다.
• 결과들은 탈퇴 및 비유계 계수 조건 하에서 이토 과정에 대한 믹킹 정리의 지원을 제공한다.