[논문 리뷰] Degenerate SDE with Hölder-Dini Drift and Non-Lipschitz Noise Coefficient

Feng‐Yu Wang, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 힐버트-디니 연속성 드리프트와 비-립시츠 노이즈 계수를 가진 열화된 스토케스틱 미분 방정식(SDE)에 대해 강한 해의 존재성, 유일성 및 안정성을 확립한다. 힐버트-디니 공간의 새로운 특성화를 열 반구군과 천천히 변화하는 함수를 사용하여 도입함으로써, 저자들은 첫 번째 성분에서 $\alpha \in (\frac{2}{3},1)$, 두 번째 성분에서 $\beta \in (0,1)$ 의 힐버트 연속성 차수를 가지는 $C^{1+\varepsilon}$ 노이즈와 함께 해 흐름이 $C^1$-스토크스틱 디피오모르피즘 플로우를 이룬다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The existence-uniqueness and stability of strong solutions are proved for a class of degenerate stochastic differential equations, where the noise coeffcicient might be non-Lipschitz, and the drift is locally Dini continuous in the component with noise (i.e. the second component) and locally Hölder-Dini continuous of order $\ff 2 3$ in the first component. Moreover, the weak uniqueness is proved under weaker conditions on the noise coefficient. Furthermore, if the noise coefficient is $C^{1+\vv}$ for some $\vv>0$ and the drift is Hölder continuous of order $å\in (\ff 2 3,1)$ in the first component and order $\bb\in(0,1) $ in the second, the solution forms a $C^1$-stochastic diffeormorphism flow. To prove these results, we present some new characterizations of Hölder-Dini space by using the heat semigroup and slowly varying functions.

연구 동기 및 목표

• 비-립시츠 노이즈 계수를 가진 열화된 SDE에 대해 강한 해의 존재성, 유일성 및 안정성을 확립하기 위해.
• 두 성분 모두에서 드리프트에 대해 힐버트-디니 연속성을 도입하여 립시츠 조건을 초월한 잘 정의된 결과를 확장하기 위해.
• 노이즈 계수에 대한 더 약한 정규성 조건 하에서 약한 유일성을 증명하기 위해.
• $C^{1+\varepsilon}$ 노이즈와 첫 번째 성분에서 $\alpha \in (\frac{2}{3},1)$, 두 번째 성분에서 $\beta \in (0,1)$ 의 힐버트 연속성 차수를 가지는 경우, 해 흐름이 $C^1$-스토크스틱 디피오모르피즘임을 증명하기 위해.
• 특이 드리프트를 가진 SDE 분석을 위해 열 반구군과 천천히 변화하는 함수를 사용한 힐버트-디니 공간의 새로운 특성화를 개발하기 위해.

제안 방법

• 영점에서 천천히 변화하는 함수와 $\int_0^1 \frac{\phi(t)}{t} dt < \infty$ 를 만족하는 디니 함수 $\phi$ 를 사용한 힐버트-디니 연속성의 새로운 프레임워크를 도입하기 위해.
• 열 반구군을 사용하여 힐버트-디니 공간을 특성화함으로써, 열화된 SDE에서 비정규 드리프트 항을 제어할 수 있도록 하기 위해.
• Kunita의 방법을 적용하여 $X_t(x)$ 와 그 도함수의 모멘트 추정을 통해 해 흐름의 $C^1$-디피오모르피즘 성질을 증명하기 위해.
• 핵심 모멘트 추정을 유도하기 위해: $\mathbb{E}|X_t(x) - X_t(x')|^{2p} \leq C_1(\mathrm{e}^{H(x)^\varepsilon} + \mathrm{e}^{H(x')^\varepsilon})|x - x'|^{2p}$, $\mathbb{E}(1 + |X_t(x)|^{\delta_2})^p \leq C_2(1 + |x|^{\delta_1})^p$, 및 $\mathbb{E}|X_t(x) - X_s(x)|^{2p} \leq C_3 \mathrm{e}^{H(x)^\varepsilon}|t - s|^p$.
• 이토의 공식과 지수 마틴갈레 추정을 사용하여 $N_t$ 와 $M_t$ 반마르팅게일 분해를 통해 도함수 흐름의 성장을 제어하기 위해.
• 그로워발의 부등식과 $\|\nabla \Theta_t\|_\infty$ 의 유계성을 활용하여 흐름의 안정성과 정규성의 추론을 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-립시츠 노이즈 계수와 힐버트-디니 연속 드리프트를 가진 열화된 SDE에 대해 강한 해가 존재하고 유일하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 열화된 SDE에서 약한 유일성을 확보하기 위해 드리프트와 노이즈에 필요한 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 열화된 SDE의 해 흐름이 $C^1$-스토크스틱 디피오모르피즘을 이룰 수 있는가?
• RQ4 어떻게 열 반구군과 천천히 변화하는 함수를 사용하여 힐버트-디니 연속성을 특성화하여 특이 드리프트를 가진 SDE를 분석할 수 있는가?
• RQ5 해와 그 도함수에 대한 모멘트 추정을 확립하여 전역적 $C^1$-디피오모르피즘 성질을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 드리프트가 첫 번째 성분에서 국소적으로 $\frac{2}{3}$ 차수의 힐버트-디니 연속성, 두 번째 성분에서 국소적으로 디니 연속성이며 비-립시츠 노이즈 계수를 가진 열화된 SDE에 대해 강한 해가 존재하고 유일하다.
• 노이즈 계수에 대한 더 약한 조건 하에서도 약한 유일성이 성립하여 이전 결과를 립시츠 가정을 초월하여 확장한다.
• 노이즈 계수가 $C^{1+\varepsilon}$ 이고 드리프트가 첫 번째 성분에서 $\alpha \in (\frac{2}{3},1)$, 두 번째 성분에서 $\beta \in (0,1)$ 의 힐버트 연속성 차수를 가지는 경우, 해는 $C^1$-스토크스틱 디피오모르피즘 플로우를 이룬다.
• 저자들은 열 반구군과 천천히 변화하는 함수를 사용한 힐버트-디니 공간의 새로운 특성화를 확립하여 비정규 계수 분석이 가능해졌다.
• 지수 마틴갈레 추정과 코시-부르바흐 부등식을 사용하여 $\mathbb{E}|X_t(x) - X_t(x')|^{2p} \leq C_1(\mathrm{e}^{H(x)^\varepsilon} + \mathrm{e}^{H(x')^\varepsilon})|x - x'|^{2p}$ 를 도출하였다.
• Kunita의 방법을 통해 모멘트 추정과 $C^{1+\varepsilon}$ 계수로부터 유도된 국소 $C^1$-디피오모르피즘을 조합함으로써 해 흐름의 전역적 $C^1$-디피오모르피즘 성질이 증명되었다.