[논문 리뷰] Degeneration of endomorphisms of the complex projective space in the hybrid space

Charles Favre|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 56인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 상의 차수-$d$ 엔도모르피즘의 매끄러운 가속가족의 최대 엔트로피 측도가 매개변수 $t$가 0에 접근함에 따라 베르코비치가 구축하고 부오크소프 및 존슨슨이 보완한 하이브리드 해석기하학적 공간 내에서 비아르키메데스 동역계의 평형 측도로 수렴함을 증명한다. 수렴성은 하이브리드 설정에서 모델 함수와 몽제-암페르 측도를 이용하여 보이며, 리아풀로프 지수의 폭발 추정에 응용된다.

ABSTRACT

We consider a meromorphic family of endomorphisms of degree at least 2 of a complex projective space that is parameterized by the unit disk.We prove that the measure of maximal entropy of these endomorphisms converges to the equilibrium measure of the associated non-Archimedean dynamical system when the system degenerates. The convergence holdsin the hybrid space constructed by Berkovich and further studied by Boucksom and Jonsson. We also infer from our analysis an estimate for the blow-up of the Lyapunov exponent near a pole in one-dimensional families of endomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 매개변수가 0에 접근함에 따라 복소 프로젝티브 공간 상의 동역계의 분리 현상을 분석한다.
• 하이브리드 공간 내에서 최대 엔트로피 측도 $\mu_t$ 가 비아르키메데스 평형 측도 $\mu_{\mathcal{R}}$로 수렴함을 확립한다.
• 데마코와 파버의 리만 구면 상의 유리 함수에 대한 수렴 결과를 고차원으로 일반화한다.
• 일차원 엔도모르피즘 가족에서 극점 근처의 리아풀로프 지수 폭발에 대한 추정을 도출한다.
• 동역계에 대해 모델 함수와 몽제-암페르 측도의 프레임워크를 하이브리드 해석기하 공간으로 확장한다.

제안 방법

• 베르코비치가 구축하고 부오크소프 및 존슨슨이 발전시킨 하이브리드 해석기하 공간을 활용하며, 이는 단위 디스크 위에서 복소수와 비아르키메데스 해석기하적 구조를 통합한다.
• 매개변수 $t$ 에 대한 $t$-adic 노름과 하이브리드 노름 $|\cdot|_{\text{hyb}}$ 를 사용하여 하이브리드 공간 상의 모델 함수를 정의함으로써, 복소수와 비아르키메데스 메트릭 간의 비교를 가능하게 한다.
• 모델 함수와 그 균일한 극한에 몽제-암페르 연산자를 적용하여 하이브리드 공간 상의 측도를 구성한다.
• 복소수 경우에서의 역상 수렴 $\frac{1}{d^{kn}}(R_t^n)^*\omega_{\text{FS}}^{\wedge k}$ 가 $\mu_t$ 로 수렴하고, 비아르키메데스 경우에서 $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ 가 $\mu_{\mathcal{R}}$ 로 수렴함을 활용한다.
• 복소수 섬유를 하이브리드 섬유와 식별하기 위해 $\psi: \mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \overline{\mathbb{D}}_r^* \to \pi^{-1}(\tau(\overline{\mathbb{D}}_r^*))$ 의 호메오모르피즘을 사용한다.
• [BJ17] 의 체적 형식과 몽제-암페르 측도의 분리 결과를 적용하여 $\mu_t$ 의 극한이 비아르키메데스 평형 측도와 관련됨을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이브리드 공간 내에서 매개변수 $t \to 0$ 일 때, $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 상의 매끄러운 엔도모르피즘 가족의 최대 엔트로피 측도 $\mu_t$ 가 비아르키메데스 평형 측도 $\mu_{\mathcal{R}}$ 로 수렴하는가?
• RQ2 복소 해석기하 공간 상에 있는 $\mu_t$ 와 비아르키메데스 해석기하 공간 상에 있는 $\mu_{\mathcal{R}}$ 간의 수렴이 의미적으로 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ3 일차원 엔도모르피즘 가족에서 극점 근처의 리아풀로프 지수 폭발 비율은 하이브리드 공간 프레임워크를 통해 추정할 수 있는가?
• RQ4 하이브리드 공간 상의 모델 함수의 몽제-암페르 측도의 극한이 비아르키메데스 평형 측도와 같은가?
• RQ5 체적 형식의 분리와 그에 수반된 메트릭이 하이브리드 설정에서 평형 측도의 분리와 얼마나 깊이 관련되어 있는가?

주요 결과

• 매개변수 $t \to 0$ 일 때, 복소 엔도모르피즘 $R_t$ 의 최대 엔트로피 측도 $\mu_t$ 는 비아르키메데스 엔도모르피즘 $\mathcal{R}$ 가 정의된 $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$ 상의 평형 측도 $\mu_{\mathcal{R}}$ 로 수렴한다.
• 이 수렴은 하이브리드 구조를 통해 확립되며, $t \in \mathbb{D}^*$ 에 대응하는 섬유는 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \{t\}$ 와 위상동형이며, $t=0$ 에 대응하는 중심 섬유는 베르코비치 해석기하화 $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$ 와 식별된다.
• 극한 측도 $\mu_{\mathcal{R}}$ 는 수열 $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ 의 유일한 약한 극한이며, 비아르키메데스 설정에서의 평형 측도이다.
• 논문은 일차원 엔도모르피즘 가족에서 극점 근처의 리아풀로프 지수 폭발에 대한 추정을 분리 분석을 통해 도출한다.
• 하이브리드 공간 상의 모델 함수의 균일한 극한의 몽제-암페르 측도는 수렴하는 측도 $\mu_t$ 와 정확히 일치하며, 복소수와 비아르키메데스 동역계 간의 다리 역할을 한다.
• 결과는 $k=1$ 인 경우에 대해 데마코와 파버의 수렴 결과를 고차원 프로젝티브 공간으로 일반화하며, 향후 그들의 정리의 일반화를 위한 프레임워크를 제공한다.