[논문 리뷰] Degeneration of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 음의 스칼라 곡률을 가진 켈러-아인슈타인 다양체의 붕괴하는 가족의 그로모프-하우스도르프 극한이 유한한 서로소 연결된 완전한 켈러-아인슈타인 다양체들의 합집합임을 확립한다. 각각의 다양체는 하우스도르프 차원이 최대 $2n-4$인 특이점을 가진다. 극한 공간은 반-로그 캐논리컬 모델에서 비-로그-터미널 위치를 제외한 것과 동형이며, 음의 켈러-아인슈타인 다양체의 모듈리 공간을 콤팩트화하기 위한 기초 단계를 제공한다.

ABSTRACT

Let $π: \mathcal{X}^* ightarrow B^*$ be an algebraic family of compact Kähler manifolds of complex dimension $n$ with negative first Chern class over a punctured disc $B^*\in \mathbb{C}$. Let $g_t$ be the unique Kähler-Einstein metric on $\mathcal{X}_t= π^{-1}(t)$. We show that as $t ightarrow 0$, $(\mathcal{X}_t, g_t)$ converges in pointed Gromov-Hausdorff topology to a unique finite disjoint union of complete metric length spaces $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} (Y_α, d_α)$ without loss of volume. Each $(Y_α, d_α)$ is a smooth open Kähler-Einstein manifold of complex dimension n outside its closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$. Furthermore, $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} Y_α$ is a quasi-projective variety isomorphic to $\mathcal{X}_0 \setminus LCS(\mathcal{X}_0)$, where $\mathcal{X}_0$ is a projective semi-log canonical model and $LCS(\mathcal{X}_0)$ is the non-log terminal locus of $\mathcal{X}_0$. This is the first step of our approach toward compactification of the analytic geometric moduli space of Kähler-Einstein manifolds of negative scalar curvature.

연구 동기 및 목표

• 가운데 원소가 있는 가족에서 음의 스칼라 곡률을 가진 켈러-아인슈타인 다양체의 기하학적 및 분석적 행동을 이해하기 위해.
• 구멍이 난 원판 위에서 이러한 붕괴의 그로모프-하우스도르프 극한을 확립하기 위해.
• 극한 공간의 구조가 통제된 특이성을 가진 완전한 켈러-아인슈타인 다양체들의 서로소 합집합임을 식별하기 위해.
• 비-로그-터미널 위치와 반-로그 캐논리컬 모델을 통해 분석적 극한을 대수기하학과 연결하기 위해.
• 음의 켈러-아인슈타인 다양체의 모듈리 공간을 콤팩트화하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 음의 $c_1$를 가진 구멍이 난 원판 위에서 콤팩트 켈러 다양체의 가족 $\pi: \mathcal{X}^* \to B^*$ 를 분석한다.
• 각 근처 $\mathcal{X}_t$ 에서 $\mathrm{Ric}(g_t) = -g_t$ 를 만족하는 켈러-아인슈타인 메트릭 $g_t$ 의 존재성과 유일성을 사용한다.
• 부분 $C^0$-추정과 거리 추정을 적용하여 중심 근처의 메트릭 행동을 통제한다.
• 메트릭 공간 $ (\mathcal{X}_t, g_t) \to \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha) $ 의 수렴을 통해 그로모프-하우스도르프 극한을 확립한다.
• 정칙 근처에서의 항등 사상을 연장하는 표준 사상 $\Phi: (\mathbf{Y}, d_\mathbf{Y}) \to (\mathcal{X}_0, \chi)$ 를 구성한다.
• 다음의 방법을 사용하여 극한 사상의 단사성과 위상적 강성 증명: 다항다양체 섹션과 매르코모르픽 함수.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 음의 스칼라 곡률을 가진 켈러-아인슈타인 다양체의 붕괴 가족의 그로모프-하우스도르프 극한은 무엇인가?
• RQ2 극한 공간은 대수기하학에서 붕괴의 중심 근처와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 극한 메트릭 공간의 특이 집합의 구조는 무엇인가?
• RQ4 극한 공간은 비-로그-터미널 위치를 제외한 준사영 다양체로 식별될 수 있는가?
• RQ5 분석적 극한은 중심 근처의 반-로그 캐논리컬 모델과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 가족 $ (\mathcal{X}_t, g_t) $ 는 지정된 그로모프-하우스도르프 위상에서 유한한 서로소 연결된 완전한 메트릭 길이 공간들의 합집합 $ \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha) $ 로 수렴한다.
• 극한 공간의 총 부피는 각 $ (\mathcal{X}_t, g_t) $ 의 부피와 같으며, 붕괴 동안 부피가 유지된다.
• 각 $ (Y_\alpha, d_\alpha) $ 는 하우스도르프 차원이 최대 $ 2n - 4 $ 이하인 특이 집합을 제외한 곳에서 복소 차원 $ n $ 의 매끄러운 켈러-아인슈타인 다양체이다.
• 합집합 $ \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} Y_\alpha $ 는 $ \mathcal{X}_0 $ 이 반-로그 캐논리컬 모델일 때 $ \mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0) $ 와 동형이다.
• 극한 공간 $ \mathbf{Y} $ 는 표준적, 단사적, 연속적인 사상 $ \Phi $ 를 통해 $ \mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0) $ 와 위상동형이다.
• 극한 사상 $ \Phi $ 는 그로모프-하우스도르프 극한에서 중심 근처의 매끄러운 근처로의 이산적, 리프시츠 위상동형사상이다.