[논문 리뷰] Degree-degree dependencies in random graphs with heavy-tailed degrees

Remco van der Hofstad, Nelly Litvak|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 42인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 무거운 尾를 가진 균형 없는 네트워크에서 차수-차수 의존성에 대한 피어슨 상관계수는 대규모 네트워크에서 신뢰할 수 없음을 입증한다. 강한 음의 의존성에도 불구하고 자주 0 또는 비음수 값으로 수렴하기 때문이다. 이에 따라 본 논문은 스피어만의 순위 상관계수(rho)를 보다 신뢰할 수 있는 대안으로 제안하며, 일반적인 네트워크 모델 하에서 이 상관계수가 의미 있는 극한으로 수렴함을 증명함으로써, 네트워크 크기에 관계없이 혼합 패턴을 일관되게 분석할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Mixing patterns in large self-organizing networks, such as the Internet, the World Wide Web, social and biological networks are often characterized by degree-degree dependencies between neighbouring nodes. In assortative networks, the degree-degree dependencies are positive (nodes with similar degrees tend to connect to each other), while in disassortative networks, these dependencies are negative. One of the problems with the commonly used Pearson correlation coecient, also known as the assortativity coecient is that its magnitude decreases with the network size in disassortative networks. This makes it impossible to compare mixing patterns, for example, in two web crawls of dierent sizes. As an alternative, we have recently suggested to use rank correlation measures, such as Spearman’s rho. Numerical experiments have conrmed that Spearman’s rho produces consistent values in graphs of dierent sizes but similar structure, and it is able to reveal strong (positive or negative) dependencies in large graphs. In this paper we analytically investigate degree-degree dependencies for scale-free graph sequences. In order to demonstrate the ill behaviour of the Pearson’s correlation coecient, we rst study a simple model of two heavy-tailed highly correlated random variables X and Y , and show that the sample correlation coecient converges in distribution either to a proper random variable on [ 1; 1], or to zero, and the limit is non-negative a.s. if X;Y 0. We next adapt these results to the degree-degree dependencies in networks as described by the Pearson correlation coecient, and show that it is non-negative in the large graph limit when the asymptotic degree distribution has an innite third moment. Furthermore, we provide examples where the Pearson’s correlation coecient converges to zero in a network with strong negative degree-degree dependencies, and another example where this coecient converges in distribution to a random variable. We suggest the alternative degree-degree dependency measure, based on Spearman’s rho, and prove that this statistical estimator converges to an appropriate limit under quite general conditions. These conditions are proved to hold in common network models, such as the conguration model and the preferential attachment model. We conclude that rank correlations provide a suitable and informative method for uncovering network mixing patterns.

연구 동기 및 목표

• 대규모이고 무거운 尾를 가진 네트워크에서 차수-차수 의존성을 측정하는 데 있어 피어슨 상관계수의 한계를 규명하는 것.
• 강한 음의 차수 상관관계가 존재하는 네트워크에서도 피어슨 계수가 0 또는 비음수 값으로 수렴할 수 있음을 입증하는 것.
• 스케일프리 네트워크에서 차수-차수 의존성을 측정하기 위해 스피어만의 순위 상관계수(rho)를 더 신뢰할 수 있는 대안으로 제안하는 것.
• 구성 모델 및 선호적 연결 모델과 같은 일반적인 네트워크 모델 하에서 스피어만의 순위 상관계수(rho)가 안정된 극한으로 수렴함을 증명하는 것.
• 순위 기반 상관계수 측정법을 사용하여 다양한 크기의 네트워크 간 혼합 패턴을 일관되게 비교할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 무거운 尾를 가진 두 개의 랜덤 변수 X와 Y 사이의 표본 피어슨 상관계수의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• 이원 무거운 尾 분포 이론 결과를 무작위 그래프 내 차수-차수 의존성에 적용하는 것.
• 차수 분포의 세 번째 모멘트가 무한대일 경우, 피어슨 상관계수가 분포적으로 비음수 랜덤 변수 또는 0으로 수렴함을 보이는 것.
• 차수-차수 의존성을 측정하기 위해 피어슨 상관계수의 순위 기반 대안으로 스피어만의 순위 상관계수(rho)를 도입하는 것.
• 구성 모델 및 선호적 연결 모델을 포함한 일반 조건 하에서 스피어만의 순위 상관계수(rho)가 잘 정의된 극한으로 수렴함을 증명하는 것.
• 이론적 수렴 결과를 바탕으로 대규모 네트워크 분석에서 순위 기반 상관계수의 일관성과 신뢰성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 대규모 스케일프리 네트워크에서 피어슨 상관계수는 강한 음의 차수-차수 의존성을 감지하지 못하는가?
• RQ2 세 번째 모멘트가 무한대인 네트워크에서 피어슨 상관계수가 언제 0 또는 비음수 값으로 수렴하는가?
• RQ3 스피어만의 순위 상관계수(rho)는 다양한 크기의 네트워크 간에 일관되게 차수-차수 의존성을 추정할 수 있는가?
• RQ4 무작위 그래프 모델에서 스피어만의 순위 상관계수(rho)가 의미 있는 극한으로 수렴하기 위한 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ5 무거운 尾를 가진 네트워크에서 피어슨 상관계수와 스피어만의 순위 상관계수의 수렴 성질은 어떻게 다를까?

주요 결과

• 세 번째 모멘트가 무한대인 대규모 네트워크에서 차수-차수 의존성에 대한 피어슨 상관계수는 분포적으로 비음수 랜덤 변수 또는 0으로 수렴하며, 이는 강한 음의 의존성 존재 시에도 마찬가지다.
• 무거운 尾를 가진 차수와 강한 음의 혼합이 존재하는 네트워크에서 피어슨 상관계수는 0으로 수렴할 수 있어, 이러한 의존성을 감지하는 데 효과적이지 않다.
• 스피어만의 순위 상관계수(rho)는 구성 모델 및 선호적 연결 모델을 포함한 일반 조건 하에서 안정된 극한으로 수렴함이 입증되었다.
• 스피어만의 순위 상관계수(rho)의 수렴은 다양한 네트워크 크기에 걸쳐 강건하여 혼합 패턴의 일관된 비교에 적합하다.
• 이론적 분석을 통해 순위 기반 상관계수 측정법이 대규모이고 무거운 尾를 가진 네트워크에서 피어슨 상관계수보다 더 정보가 많고 신뢰할 수 있음을 확인하였다.
• 본 연구는 피어슨 상관계수가 실패할 수 있는 상황에서도 스피어만의 순위 상관계수(rho)가 일관되고 해석 가능한 네트워크 혼합 패턴 측정법을 제공함을 확립하였다.