[논문 리뷰] Degree Formulae for Grassmann Bundles, II

Hajime Kaji, Tomohide Terasoma|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비특이 quasi-projective 다양체 위의 Grassmann bundle에서 Pl"{u}cker 선다발의 Chern 특성의 pushforward에 대한 닫힌 공식을 유도한다. 이 공식은 기저 벡터 다발의 Segre 계수를 통해 표현되며, 주요 기여는 부분 플라그 다발의 Chow 링에서 새로운 pushforward 공식을 도출한 것이다. 이는 determinant 다발이 very ample일 경우 Grassmann bundle의 차수 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular quasi-projective variety over a field, and let $\mathcal E$ be a vector bundle over $X$. Let $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ be the Grassmann bundle of $\mathcal E$ over $X$ parametrizing corank $d$ subbundles of $\mathcal E$ with projection $π: {\mathbb G_X({d}, \mathcal E)} o X$, and let $ \mathcal Q \gets π^*\mathcal E$ be the universal quotient bundle of rank $d$. In this article, a closed formula for $π_{*}\operatorname{ch} (\det \mathcal Q)$, the push-forward of the Chern character of the Plücker line bundle $\det \mathcal Q$ by $π$ is given in terms of the Segre classes of $\mathcal E$. Our formula yields a degree formula for $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ with respect to $\det \mathcal Q$ when $X$ is projective and $\wedge ^d \mathcal E$ is very ample. To prove the formula above, a push-forward formula in the Chow rings from a partial flag bundle of $\mathcal E$ to $X$ is given.

연구 동기 및 목표

• 비특이 quasi-projective 다양체 위의 Grassmann bundle에서 Pl"{u}cker 선다발의 Chern 특성의 닫힌 표현식을 유도하는 것.
• determinant 다발이 very ample일 경우 Pl"{u}cker 임bedding을 통한 Grassmann bundle의 차수 공식을 제공하는 것.
• J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz 공식에 의존하지 않는 부분 플라그 다발의 Chow 링에서의 새로운 pushforward 공식을 수립하는 것.
• Chern 특성의 pushforward를 Segre 계수와 Schur 다항식을 통해 표현하여 대수적 및 기하학적 해석을 제공하는 것.
• Chow 링 내에서 반대칭화와 생성함수의 맥락에서 Cauchy 행렬식 공식을 일반화하는 것.

제안 방법

• 비특이 다양체 $X$ 위의 벡터 다발 $\mathcal{E}$의 corank $d$ 부분다발을 매개변수화하는 Grassmann bundle $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$를 도입하고, 계수 $d$인 유니버설 몫다발 $\mathcal{Q}$를 정의한다.
• Pl"{u}cker 계수 $\theta = c_1(\det\mathcal{Q})$를 정의하고, Chow 링 $A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$의 pushforward를 연구한다.
• 벡터 다발 $\mathcal{Q}$의 Chern 근 $\xi_0,\dots,\xi_{d-1}$를 사용하여 부분 플라그 다발 $\mathbb{F}_X^d(\mathcal{E})$에서 pushforward 공식을 구성하고, 다항식 $F(\underline{\xi})$의 pushforward를 로랑 급수의 상수항으로 표현한다.
• 반대칭화자 $\mathcal{A}$와 Cauchy 행렬식 항등식을 사용하여 Chern 근 내 다항식 계수의 생성함수를 도출한다.
• 이 공식을 적용하여 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$를 Segre 계수와 Schur 다항식을 포함하는 분할에 대한 합으로 표현한다.
• 새로운 pushforward 공식 수립: $p_*F(\underline{\xi}) = \operatorname{const}_{\underline{t}}\Big{(}\Delta(\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}t_i^{r-d}F(1/\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}s(\mathcal{E},t_i)\Big{)}$ in $A^*(X)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Grassmann bundle에서 Pl"{u}cker 선다발의 Chern 특성의 pushforward에 대한 닫힌 표현식은 무엇인가요?
• RQ2 Pl"{u}cker 임bedding을 통한 Grassmann bundle의 차수는 어떻게 대수적으로 계산할 수 있나요?
• RQ3 J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz 공식에 의존하지 않고 부분 플라그 다벨의 Chow 링에서 새로운 pushforward 공식을 유도할 수 있을까요?
• RQ4 Segre 계수 $\mathcal{E}$와 Grassmann bundle $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$에서의 Chern 특성 pushforward 간의 관계는 무엇인가요?
• RQ5 Segre 계수 내에서 Schur 다항식은 Grassmann bundle 차수 공식의 맥락에서 어떻게 자연스럽게 나타나나요?

주요 결과

• 논문은 $A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$에 대한 닫힌 공식을 제공하며, 이는 비음수 정수 $d$-튜플 $k = (k_0,\dots,k_{d-1})$에 대한 합으로 표현되며, 인덱스 차이와 계승의 곱으로 구성된 가중치와 함께 Segre 계수 $s_{k_i}(\mathcal{E})$를 포함한다.
• 다양체 $X$가 프로젝티브이고 $\wedge^d\mathcal{E}$가 very ample일 경우, Grassmann bundle $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$의 차수는 $\deg = (d(r-d)+n)! \sum_{|k|=n} \frac{\prod_{0\leq i<j\leq d-1}(k_i - k_j - i + j)}{\prod_{0\leq i\leq d-1}(r + k_i - i)!} \int_X \prod_{i=0}^{d-1} s_{k_i}(\mathcal{E})$로 주어진다.
• 다른 표현으로 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$는 Schur 다항식을 통해 표현된다: $\sum_{\lambda} \frac{1}{|\lambda + \varepsilon|!} f^{\lambda + \varepsilon} \Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$, 여기서 $\varepsilon = (r-d)^d$, $f^{\lambda + \varepsilon}$는 형상 $\lambda + \varepsilon$의 표준 Young 표를 수는 수이며, $\Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$는 Segre 계수에 대한 Schur 다항식이다.
• 부분 플라그 다발에서의 pushforward 공식은 반대칭화와 생성함수를 통해 유도되었으며, 핵심 항등식 $\mathcal{A}\Big{(}\frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{d-1})\Delta(\xi_d,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j=0}^{d-1}(\tau_j - \xi_i)}\Big{)} = \frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j}(\tau_j - \xi_i)}$을 포함한다.
• Chern 근 내 다항식 계수의 생성함수 $G(\underline{t})$는 $\Delta(t_0,\dots,t_{d-1}) \prod_{i=0}^{d-1} t_i^{r-d} s(\mathcal{E}, t_i)$로 표현되며, 이는 반대칭화와 Cauchy 행렬식 항등식을 통해 주요 공식을 확인한다.
• 증명 과정은 J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz pushforward 공식을 회피하여 대칭 함수 이론과 대수기하학의 Chow 링 기법을 기반으로 한 새로운, 자가 포함된 유도를 제공한다.