[논문 리뷰] Delaunay hypersurfaces with constant nonlocal mean curvature

Xavier Cabré, Mouhamed Moustapha Fall외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $N \geq 2$ 인 $\mathbb{R}^{N}$에서 직선 원통에서 분기하는 정수형 비국소 평균 곡률를 갖는 매끄럽고 일자 매개변수를 가진 주기적 델라운게이 유형의 초곡면의 존재를 확립한다. 비선형 분수형 타원형 미분방정식에 크랜달-라비노위츠 분기 정리 적용하여, 직선 원통 주변의 매끄럽고 짝함수이며 주기적인 해의 존재를 증명하였으며, 이들의 주기는 편미분 매개변수의 크기가 0으로 수렴함에 따라 $2\pi$로 수렴한다.

ABSTRACT

We study hypersurfaces of $\mathbb{R}^N$ with constant nonlocal (or fractional) mean curvature. This is the equation associated to critical points of the fractional perimeter functional under a volume constraint. We establish the existence of a smooth branch of periodic cylinders in $\mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, all of them with the same constant nonlocal mean curvature, and bifurcating from a straight cylinder. These are Delaunay type cylinders in the nonlocal setting. The proof uses the Crandall-Rabinowitz theorem applied to a quasilinear type fractional elliptic equation.

연구 동기 및 목표

• 고전적 델라운게 표면의 비국소적 대응으로서, $\mathbb{R}^N$, $N \geq 2$에서 정수형 비국소 평균 곡률를 갖는 주기적 초곡면의 존재를 확립하는 것.
• 이전의 $\mathbb{R}^2$에서의 결과를 고차원으로 확장하여, 직선 원통에서 분기하는 매끄러운 주기적 실린더의 분지 분석을 수행하는 것.
• 이 비국소 델라운게 초곡면이 매끄럽고 주기적임을 증명하고, 직선 원통으로 수렴함에 따라 주기가 $2\pi$로 수렴함을 보이는 것.
• 비국소 면적 최소화의 맥락에서 분수형 평균 곡률 방정식에 대한 엄밀한 분기 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• 비국소 평균 곡률의 주요값 적분 정의를 사용하여 비국소 평균 곡률 방정식을 비선형 분수형 타원형 미분방정식으로 재구성한다.
• 초곡면을 $E_u = \{(s,\zeta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{N-1} : |\zeta| < u(s)\}$ 형태의 회전 대칭 실린더로 정의하며, 여기서 $u$는 주기적이고 양수인 함수이다.
• 비국소 평균 곡률 방정식에서 유도된 비선형 연산자에 크랜달-라비노위츠 분기 정리를 적용하여, 편미분 매개변수 $a$를 분기 변수로 간주한다.
• 직선 원통 주변에서 비국소 평균 곡률 연산자 $H: C^{1,\beta}(\mathbb{R}) \to C^{0,\beta - \alpha}(\mathbb{R})$가 $C^\infty$-매끄럽다는 것을 증명하여 필요한 정칙성과 컴팩턴스를 확보한다.
• 홀더 추정과 적분 커널 분해를 사용하여 비국소 평균 곡률 연산자 및 그 도함수의 정칙성을 제어한다.
• 해의 대칭성과 짝함수 성질을 활용하여, 분기 분지가 최소 주기가 $2\pi / \lambda(a)$인 짝함수 주기적 함수로 이루어져 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 델라운게 표면의 비국소적 대응으로서, $N \geq 2$ 인 $\mathbb{R}^N$에서 정수형 비국소 평균 곡률를 갖는 매끄러운 일자 매개변수를 가진 주기적 초곡면의 가닥을 구성할 수 있는가?
• RQ2 크랜달-라비노위츠 분기 정리는 고차원에서 비국소 평균 곡률 방정식에 적용되어 이러한 주기적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 직선 원통으로 수렴함에 따라 분기하는 해의 주기의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 비국소 평균 곡률 연산자의 정칙성은 분기하는 해의 매끄러움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비국소 평균 곡률 방정식은 비선형 분수형 타원형 미분방정식으로 간주될 수 있으며, 이에 따라 분기 분석이 가능해지는가?

주요 결과

• $\alpha \in (0,1)$인 모든 $\alpha$에 대해, 반지름 $R > 0$이 존재하며, $\mathbb{R}^N$, $N \geq 2$에서 직선 원통 $\{ |\zeta| < R \}$에서 분기하는 $C^\infty$-매끄러운 주기적 실린더의 가닥 $E_{u_a}$가 존재한다. 여기서 $u_0 \equiv R$이다.
• 분기하는 해 $u_a$는 최소 주기가 $2\pi / \lambda(a)$인 짝함수 주기적 함수이며, $\lambda(0) = 1$ 이므로 $a \to 0$일 때 주기가 $2\pi$로 수렴한다.
• 이 가닥에 속한 모든 초곡면는 직선 원통과 동일한 비국소 평균 곡률를 가지며, 이 곡률는 분기 과정 동안 유지된다.
• 비국소 평균 곡률 연산자 $H$가 $C^{1,\beta}(\mathbb{R})$에서 $C^\infty$-매끄럽다는 것이 입증되었으며, 이는 고차 분기 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 직선 원통에서 선형화된 연산자의 단순 핵을 $\cos(s)$로 생성하며, 이는 크랜달-라비노위츠 정리에서 요구하는 전이 조건을 만족한다.
• 결과적으로, $a \mapsto \lambda(a)$와 $a \mapsto u_a$는 모두 매끄럽고, 이는 분기 가닥이 진폭과 주기 매개변수 모두에서 $C^\infty$-정칙임을 확인한다.