[논문 리뷰] Delay-robust control design for two heterodirectional linear coupled hyperbolic PDEs

Jean Auriol, Ulf Jakob F. Aarsnes외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 13.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 43인용 수 81

한 줄 요약

본 논문은 두 개의 결합된 이방향성 선형 하이퍼볼릭 PDE들에 대해 인접 반사(proximal reflections)를 제거함으로써 유한시간 안정화가 delay robustness를 파괴할 수 있음을 보이고, 작은 반사를 보존하는 delay-robust control design을 제안한다. 또한 강인성 분석을 위해 시스템을 distributed-delay neutral equation으로 재구성한다.

ABSTRACT

We detail in this article the necessity of a change of paradigm for the delay-robust control of systems composed of two linear first order hyperbolic equations. One must go back to the classical trade-off between convergence rate and delay-robustness. More precisely, we prove that, for systems with strong reflections, canceling the reflection at the actuated boundary will yield zero delay-robustness. Indeed, for such systems, using a backstepping-controller, the corresponding target system should preserve a small amount of this reflection to ensure robustness to a small delay in the loop. This implies, in some cases, giving up finite time convergence.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 이방향성 선형 하이퍼볼릭 PDE들에서 수렴 속도와 지연 강건성의 균형 필요성을 동기화한다.
• 인접 반사(proximal reflections)를 제거하면 작은 지연에 대한 지연 여유가 제거될 수 있음을 보인다.
• 작은 부분의 인접 반사를 보존하는 지연 강건한 백스테핑 기반 제어 설계를 개발한다.
• 두 PDE 시스템을 분산 지연 중립 시스템으로 재구성하여 강인성을 분석한다.

제안 방법

• 경계-연결 전이 PDE에 대한 개방 루프 전달 함수를 분석하여 지연 강건성 조건을 도출한다.
• 백스테핑을 사용하여 원래 시스템을 분산 지연 중립 형태의 표적 시스템으로 매핑한다.
• 지연 강건한 안정화 가능성을 결정하는 반사 이득(근접 및 원거리 반사)에 대한 조건을 도출한다.
• 가까운 반사의 일부를 보존하여 수렴 속도와 지연 강건성 간의 트레이드오프를 갖는 보정된 제어 법칙을 제안한다.
• 작은 지연 하에서 보정된 표적 시스템의 지수적 안정성을 확립하고 구성 가능한 제어기를 제공한다.
• 두-전송 방정식 예제로 접근 방식을 설명하고 일반적인 두 개의 결합 하이퍼볼릭 PDE로 확대한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 백스테핑 기반 제어기가 작은 지연에 대해 두 이방향성 선형 하이퍼볼릭 PDE들을 강건하게 안정화할 수 있는가?
• RQ2 근접 및 원거리 반사 이득이 지연 강건 안정화에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 표적 시스템을 어떻게 설계하여 유한 시간 수렴과 지연 강건성 사이에서 트레이드오프를 구현할 수 있는가?
• RQ4 두 PDE 시스템을 분산 지연 중립 시스템으로 재구성하여 지연 분석을 용이하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 근접 반사를 완전히 상쇄하여 유한시간 안정화를 달성하는 경우 특정 시스템에서 지연 강건성을 사실상 얻을 수 없음을 보인다.
• open-loop 이득 |ρq| ≥ 1인 경우 시스템은 지연 강건한 안정화를 달성할 수 없다.
• |ρq| < 1인 경우 표적 제어 법칙을 수정하여 근접 반사의 작은 부분을 보존함으로써 지연 강건한 안정화를 달성할 수 있다.
• 두 PDE 시스템을 분산 지연 중립 시스템으로 매핑하는 백스테핑 기반 재구성이 지연 분석을 가능하게 한다.
• K라는 조정 가능한 매개변수를 가진 수정된 제어 법칙은 |ρq| < 1일 때 지연 강건한 지수적 안정화를 달성할 수 있으며 수렴 속도와 지연 강건성 사이의 균형을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 간단한 두-전송 예제에서 일반적인 두 개의 결합 하이퍼볼릭 PDE로 확장된다.