[논문 리뷰] Delayed instabilities in viscoelastic solids through a metric description

Erez Y. Urbach, Efi Efrati|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 26.

Sports Dynamics and Biomechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 기준 길이를 통해 점탄성 고체를 모델링하는 메트릭 기반 프레임워크를 제안하며, 지연된 불안정성의 정량적 예측을 가능하게 한다. 재료의 응력 완화를 동적 기준 메트릭으로 간주함으로써 이 이론은 유사하게 안정된 점탄성 구조물(예: 엘라스토머 쉘)이 갑작스럽게 날개를 펴는 이유와 시기를 예측할 수 있으며, 팝퍼와 스냅-스루 행동에 대한 실험 데이터와 뛰어난 일치를 보인다.

ABSTRACT

While determining the stability of an unconstrained elastic structure is a straightforward task, this is not the case for viscoelastic structures. Seemingly elastically stable conformations of viscoelastic structures may gradually creep until stability is lost, and conversely, creeping does not necessarily imply that a structure will eventually become unstable. Understanding instabilities in viscoelastic structures requires a more intuitive description of viscoelasticity to allow analytical results and quantitative predictions. In this work we put forward a metric description of viscoelasticity in which the continua is characterized by temporally evolving reference lengths with respect to which elastic strains are measured. Formulating the three dimensional theory using metric tensors we are able to predict which structures will exhibit delayed instability due to viscoelastic flow. We also quantitatively describe the viscoelastic relaxation in free standing structures including cases where the relaxation leads to no apparent motion. We demonstrate these results and the power of the metric approach by elucidating the subtle mechanism of delayed instability in elastomer shells showing quantitative agreement with experimental measurements.

연구 동기 및 목표

• 지속적인 내부 응력 완화가 발생하는 동안에도 움직이지 않는 점탄성 고체에서 지연된 불안정성을 예측하기 위한 직관적이고 분석 가능한 도구의 부족을 해결하기 위해.
• 기억 핵이나 복잡한 시뮬레이션에 의존하지 않고, 내부 응력의 천천간 소산적 진화를 포괄하는 물리적으로 해석 가능한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기본 탄성 이론이 설명하지 못하는 바와 같이, 지속적인 내부 응력 완화가 발생하는 동안에도 움직이지 않는 점탄성 구조물이 존재하는 이유를 설명하기 위해.
• 하중을 받는 얇은 점탄성 쉘에서 안정, 불안정, 준안정 행동 간의 전이를 정량적으로 예측하기 위해.
• 엘라스토머 팝퍼를 사용하여 실험적으로 이론을 검증함으로써 예측된 스냅-스루 시간과 안정성 단계가 관측 결과와 정확히 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 탄성 반응이 시간에 따라 변화하는 기준 메트릭 $\bar{g}_{ij}(t)$ 에 기반하여 점탄성의 메트릭 기술을 도입함으로써, 재료의 내부 완화 상태를 나타냄.
• 순간 기준 길이 $\bar{g}_{ij}$ 를 현재 구성 $g_{ij}$ 향해 진화하는 동적 변수로 정의하며, 재료 매개변수 $\beta$ 에 의해 결정되는 응력 완화 시간 상수를 가짐.
• 수정된 구성 법칙을 사용하여 응력 텐서를 기술함: $S^{ij}(t) = C^{ijkl} \left( \varepsilon_{kl}(t) + \beta \int_{-\infty}^{t} \dot{\phi}(t-s) \varepsilon_{kl}(s) ds \right)$, 여기서 $\varepsilon_{kl} = \frac{1}{2}(g_{kl} - \bar{g}_{kl})$.
• 점탄성 반응을 기준 메트릭 $\bar{g}_{ij}$ 가 현재 구성 $g_{ij}$ 향해 연속적으로 찌그러지는 것으로 모델링함으로써, 시스템이 정적 상태 $\bar{g}^{\text{stat}} = \beta g + (1 - \beta)\bar{g}^0$ 에 도달함.
• 자유로운 얇은 쉘(예: 콘형 팝퍼)에 이 이론을 적용하여, 변화하는 $\bar{g}_{ij}$ 를 기반으로 에너지 경관과 안정성을 계산함으로써 지연된 스냅-스루를 예측함.
• 응력 완화 측정을 통해 $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$ 를 캘리브레이션하고, 50개의 다른 팝퍼에서 예측된 안정성 단계와 관측된 스냅-스루 시간을 비교함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속적인 내부 응력 완화가 발생하는 동안에도 움직이지 않는 점탄성 구조물이 존재하는 이유는 무엇인가? 이는 유사하게 불안정해 보일 수 있지만.
• RQ2 일정한 변형 하에서 점탄성 쉘에서 안정, 불안정, 준안정 행동 간의 전이를 결정하는 요소는 무엇인가?
• RQ3 물리적으로 직관적인 프레임워크를 사용하여, 엘라스토머 팝퍼의 스냅-스루와 같은 지연된 불안정성을 정량적으로 예측할 수 있는가?
• RQ4 시간에 따라 변화하는 기준 메트릭 $\bar{g}_{ij}$ 는 응력 완화와 하중이 없을 때의 크리프를 포함하여 전체 점탄성 반응을 얼마나 잘 포괄하는가?
• RQ5 메트릭 접근법은 얇은 쉘에서 안정 및 불안정 영역 경계 근처에서 스냅-스루 시간의 발산을 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 이론은 점탄성 시스템이 국소적으로 안정된 상태로 급격히 이동된 후에도 내부 응력이 진화하는 동안에도 무한히 움직이지 않을 수 있음을 예측한다. 이는 시스템의 기준 메트릭 $\bar{g}_{ij}$ 가 순차적으로 조정되며 순수한 변형을 유도하지 않기 때문이다.
• 실험적으로 응력 완화를 통해 측정된 재료 매개변수 $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$ 는 콘형 팝퍼에서 안정성 단계의 정량적 예측을 가능하게 한다.
• 모델은 기하학적 매개변수 $r_{\text{min}}/h$ 와 $r_{\text{max}}/r_{\text{min}}$ 를 기반으로 엘라스토머 팝퍼에서 세 가지의 명확한 안정성 단계—안정, 불안정, 준안정—를 정확히 예측한다.
• 50개의 다른 팝퍼에 대한 실험 데이터는 이론적 안정성 경계와 뛰어난 일치를 보이며, 메트릭 프레임워크의 예측 능력을 검증한다.
• 이론은 팝퍼와 벤스 플라워트랩에서 스냅-스루 전에 발생하는 천천간 기울기 운동을, $\bar{g}_{ij}$ 가 현재 구성으로 향해 천천간 진화하기 때문임을 설명한다.
• 모델은 지연된 불안정성이 현재 형태와 재료의 변화하는 응력 없는 상태 사이의 괴로움에서 기인하며, 기준 메트릭 $\bar{g}_{ij}$ 가 점탄성 역사에 대한 상태 변수로 기능함을 드러낸다.