[논문 리뷰] Delayed Recursive State and Input Reconstruction

Roshan A. Chavan, Harish J. Palanthandalam‐Madapusi|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 21.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 동적 시스템에서 과거 상태와 미지 입력을 동시에 재구성하기 위해 현재 측정값을 사용하여 시간 지연이 있는 재귀 필터를 제안한다. 주요 기여는 시스템 다변수 영점과 연결된 수렴 조건이 필요하고 충분한 조건을 설정한 것으로, 기존의 비편향 최소분산 필터를 일반화하고 $CH$에 대한 제한적인 전행렬 랭크 조건을 완화한다. 이 방법은 정방형 및 비정방형 시스템 모두에 적용 가능하며, 시스템 영점이 안정적이고 비최소상쇄인 경우 점근적 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

The unknown inputs in a dynamical system may represent unknown external drivers, input uncertainty, state uncertainty, or instrument faults and thus unknown-input reconstruction has several wide-spread applications. In this paper we consider delayed recursive reconstruction of states and unknown inputs for both square and non-square systems. That is, we develop filters that use current measurements to estimate past states and reconstruct past inputs. We further derive necessary and sufficient conditions for convergence of filter estimates and show that these convergence properties are related to multivariable zeros of the system. With the help of illustrative examples we highlight the key contributions of this paper in relation with the existing literature. Finally, we also show that existing unbiased minimum-variance filters are special cases of the proposed filters and as a consequence the convergence results in this paper also apply to existing unbiased minimum-variance filters.

연구 동기 및 목표

• 기존 필터가 미지 입력 및 상태 추정을 위해 $CH$가 전행렬 랭크를 가져야 한다는 제약 조건을 해결하고자 한다.
• 현재 출력 측정값을 사용하여 과거 상태와 입력을 재귀적으로 추정하고, 재구성 지연 $r$을 도입하고자 한다.
• 필터 수렴을 위한 필요 및 충분 조건을 설정하고, 수렴 조건을 다변수 시스템 영점의 위치와 연결하고자 한다.
• 기존의 비편향 최소분산 필터가 $r=0$일 때 제안된 프레임워크의 특수한 경우로 복원 가능함을 보여주고자 한다.
• 비정방형 시스템에서 $CH$가 전행렬 랭크가 아닐 경우에도 적용 가능한 지연된 입력 및 상태 재구성에 대한 이론적 기반을 제공하고자 한다.

제안 방법

• 측정값이 시간 $k$까지 도달했을 때, 지연된 시간 $k-r$에서 상태 $\hat{x}_{k-r|k}$와 입력 $\hat{e}_{k-r-1|k}$를 추정하는 재귀 필터를 수립한다.
• 최소분산 기준을 사용하여 필터 이득 $L_k$를 유도하며, 조건 $L_k C H = H$를 통해 비편향성을 확보한다.
• 시스템 동역학 $x_{k+1} = A x_k + H e_k$를 이용해 예측 단계를 통해 상태 추정치를 $k-r-1$에서 $k$로 전파한다.
• 입력 재구성은 $\hat{e}_{k-r-1} = (CH)^{-1}(y_k - C \hat{x}_{k|k-1})$로 구성되며, $CH$가 가역일 경우에 유효하다.
• CH가 전행렬 랭크가 아닐 경우에도 과거 상태와 입력 추정이 가능하도록 지연 $r$을 도입하여 더 넓은 시스템 적용 가능성을 확보한다.
• 정방형 및 비정방형 시스템 모두에 필터를 적용하며, 수렴 조건은 시스템의 불변 영점 기반으로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 과거 상태와 미지 입력은 현재 출력 측정값을 통해 어떤 조건에서 재귀적으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 재구성 지연 $r$은 필터의 수렴성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 필터 수렴성과 시스템의 다변수 영점 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기존의 비편향 최소분산 필터는 제안된 지연된 필터 프레임워크의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ5 CH가 전행렬 랭크가 아닐 경우 비정방형 시스템에서 비편향성과 수렴성을 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 시스템의 다변수 영점이 안정적이고 비최소상쇄일 경우, 과거 상태와 입력에 대한 비편향 추정치를 제공하며 수렴을 보장한다.
• 정방형 시스템의 경우, 수렴을 위한 충분 조건은 비최소상쇄 영점의 부재와 동치이며, 이는 필터 성능이 시스템의 구조적 특성과 직접적으로 연결됨을 의미한다.
• 시스템에 안정적인 불변 영점이 있을 경우 필터는 점근적으로 수렴하며, 불안정하거나 비최소상쇄 영점이 존재할 경우 수렴에 실패한다.
• 제안된 필터는 기존의 비편향 최소분산 필터를 일반화한 것으로, $r=0$이고 $CH$가 가역일 경우에 해당 필터가 특수한 경우로 복원된다.
• 재구성 지연 $r$은 사용자가 설정하는 것이 아니라 시스템의 구조적 특성에 의해 결정되며, 시스템 영점 기반으로 상한선이 유도된다.
• 수치 예제는 $CH$가 전행렬 랭크가 아닐 경우 전통적 방법이 실패하는 비정방형 시스템에서 입력 재구성에 성공함을 보여준다.