[논문 리뷰] Deligne Cohomology for Orbifolds, discrete torsion and B-fields

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe|ArXiv.org|2002. 01. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 에탈레 군oids $ \textsf{G} $ 를 사용하여 오비폴드에 대한 델리ญ 코hom로지의 정의를 제시하며, 제3의 델리ญ 코호몰로지 군 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 가 오비폴드 위의 접속을 가진 게르베를 분류함을 보여준다. 이는 게르베에서 관찰되는 호몰로지 사상이 인ertia 군oids 위의 평탄한 선다발로 이어지며, 루안의 내부 국소계를 실현하고, 타입 II 초현실론 이론에서의 $ B $-장과 이산 토퍼션을 델리ญ 코호몰로지 클래스로 통합한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the concept of Deligne cohomology of an orbifold. We prove that the third Deligne cohomology group of a smooth étale groupoid classify gerbes with connection over the groupoid. We argue that the $B$-field and the discrete torsion in type II superstring theories are special kinds of gerbes with connection, and finally, for each one of them, using Deligne cohomology we construct a flat line bundle over the inertia groupoid, namely a Ruan inner local in the case of an orbifold.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 에탈레 군oids $ \textsf{G} $ 를 사용하여 오비폴드에 대한 델리ญ 코호몰로지를 정의하고, 접속을 가진 게르베를 포함하는 프레임워크를 확장한다.
• 타입 II 초현실론 이론에서의 $ B $-장과 이산 토퍼션을 제3의 델리ญ 코호몰로지 군 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 의 클래스로 통합한다.
• 오비폴드 위의 접속을 가진 게르베에서 그의 인ertia 군oids 위의 평탄한 선다발로 가는 호몰로지 사상을 구축한다.
• 이 호몰로지 사상의 상으로서 루안의 내부 국소계를 실현함으로써, 델리ญ 코호몰로지의 관점에서 기하학적 및 위상수학적 의미를 제공한다.
• 호몰로지 구성법을 모든 델리ญ 코호몰로지 군으로 일반화하여, 오비폴드 위의 그로모프-윈터 인버리언트에 대한 관련성을 시사한다.

제안 방법

• 매끄러운 에탈레 군oids $ \textsf{G} $ 를 사용하여, 접속을 가진 게르베를 모델링하기 위해 복합체 $ π(3)_D^∞ $ 를 활용하여 오비폴드에 대한 델리ญ 코호몰로지를 정의한다.
• Čェ흐 하이퍼코호몰로지와 미분형식을 사용하여 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 가 $ \textsf{G} $ 위의 접속을 가진 게르베를 분류함을 증명한다.
• 접속을 가진 게르베에서 인ertia 군oids 위의 선다발로 가는 호몰로지 준동형사상 $ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $ 를 구성한다.
• 접속을 가진 게르베에서 유도된 선다발이 평탄함을 보이기 위해, 비틀린 섹터에서 곡률 형식이 0이 되는 것을 보인다.
• Čェ흐 복합체 사이의 자연스러운 사상 $ \breve{C}(\textsf{G}, π^\times(p)_{γ}) \to \breve{C}(\text{inertia}(\textsf{G}), π^\times(p-1)_{γ}) $ 를 활용하여 호몰로지 구성법을 고차원 델리ญ 코호몰로지 군으로 일반화한다.
• 등장하는 코호몰로지 군 간의 관계를 위해 등식 $ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) \cong \mathbb{H}^{q}(\text{inertia}(...), \mathbb{Z}(p-1)^\infty_D) $ 를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 델리ญ 코호몰로지는 오비폴드로 어떻게 일반화될 수 있으며, 접속을 가진 게르베를 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ2 타입 II 초현실론 이론에서의 $ B $-장과 이산 토퍼션은 델리ญ 코호몰로지의 어떤 원소로 대응되는가?
• RQ3 접속을 가진 게르베에서 인ertia 군oids 위의 선다발로 가는 호몰로지 사상의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 호몰로지 구성법으로 유도된 선다발의 평탄성은 어떻게 유도되는가?
• RQ5 호몰로지 구성법은 모든 델리ญ 코호몰로지 군과 고차원 비틀린 섹터로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제3의 델리ญ 코호몰로지 군 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 는 매끄러운 에탈레 군oids $ \textsf{G} $ 를 통해 오비폴드를 모델링하는 접속을 가진 게르베를 분류한다.
• 타입 II 초현실론 이론에서의 $ B $-장과 이산 토퍼션은 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 의 원소로 실현되며, $ H^3(B\textsf{G}, ℤ) $ 로의 忘却 사상은 표준 코호몰로지 클래스 $[H]$ 를 복원한다.
• 자연스러운 호몰로지 사상 $ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $ 가 존재하여, 각 접속을 가진 게르베에 대해 인ertia 군oids 위의 선다발을 할당한다.
• 인ertia 군oids 위의 선다발은 평탄하며, 이는 $ a ∈ \wedge\textsf{G}_0 $ 에 대해 $ dA(a) = 0 $ 이므로 비틀린 섹터에서 곡률 형식이 0이 되기 때문이다.
• 호몰로지 사상은 모든 델리ญ 코호몰로지 군으로 일반화되며, 사상 $ \mathbb{H}^q(\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p)_{\textsf{G}}) \to \mathbb{H}^{q-1}(\wedge\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p-1)_{\wedge\textsf{G}}) $ 를 유도하며, 이는 $ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) $ 를 포함하는 동형사상들을 유도한다.
• 인ertia 군oids 위에 유도된 평탄한 선다발은 정확히 루안의 내부 국소계이며, 델리ญ 코호몰로지의 관점에서 이 객체들의 미분기하학적 실현을 제공한다.