[논문 리뷰] Deligne-Lusztig constructions for unipotent and p-adic groups

Mitya Boyarchenko|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 재수체의 초초급 표현의 Lusztig의 추측적 코hom로지컬 구성에 대한 명시적 계산 방법을 개발하며, 특히 유니포텐트 및 나눗셈 대수군에 초점을 맞춘다. 특정 인드-스키마의 코homology를 분석하고 캐릭터 합을 활용하여, 컴acts 오픈 부분군에서 유도된 표현으로서 불가약 초초급 표현을 계산한다. 국소체에서 $GL_2$ 및 $SL_2$의 수준-2 표현에 대해 명시적인 실현을 제공한다.

ABSTRACT

In 1979 Lusztig proposed a conjectural construction of supercuspidal representations of reductive p-adic groups, which is similar to the well known construction of Deligne and Lusztig in the setting of finite reductive groups. We present a general method for explicitly calculating the representations arising from Lusztig's construction and illustrate it with several examples. The techniques we develop also provide background for the author's joint work with Weinstein on a purely local and explicit proof of the local Langlands correspondence.

연구 동기 및 목표

• Lusztig의 $p$-진 군의 초초급 표현에 대한 추측적 코hom로지컬 구성에서 유도되는 표현을 명시적으로 계산하는 일반적 방법을 제공하기 위해.
• 비아르키메데스 국소체 위의 유니포텐트 군과 나눗셈 대수를 포함한 구체적 예제를 통해 방법을 시연하기 위해.
• 코homology 군 $H_i(X, \bar{\mathbb{Q}}_\ell)$의 $\theta$-이소형성 성분에서 유도된 $G$-표현을 계산하기 위한 프레임워크를 수립하기 위해.
• 유도된 표현이 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위의 딜레인-루스티그 패턴과 유한군 표현과 어떻게 관련되는지 밝히기 위해.
• 국소 랑글랜드 상호관계에 대한 국소적이고 명시적인 증명을 위한 기초 도구를 마련하기 위해.

제안 방법

• Frobenius 자기동형사상 $F$에 대해, $\overline{\mathbb{F}}_q$ 위의 인드-스키마 $X = (\widetilde{U} \cap F^{-1}(\widetilde{U})) \backslash \{ g \in \widetilde{G} \mid F(g)g^{-1} \in \widetilde{U} \}$를 정의한다.
• $G = \mathbb{G}(K)$ 및 $T = \mathbb{T}(K)$의 $X$ 위의 작용을 이용하여, 코homology 군 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$에 있는 스무스 표현을 정의한다.
• 스무스 캐릭터 $\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$에 대해, $\theta$-이소형성 성분 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$를 계산한다.
• 캐릭터 합 항등식과 추적 공식을 적용하여, 특히 $H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$에서 유도 표현의 중복도를 결정한다.
• 유도된 구조의 핵심 성분으로서 표현 $\rho_{\chi} \cong \operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$를 식별한다.
• Frobenius의 대응 원리와 캐릭터 추적을 사용하여, $\eta_\theta^\circ \cong \operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lusztig의 $p$-진 군에 대한 초초급 표현에 대한 추측적 코hom로지컬 구성은 어떻게 명시적으로 구현될 수 있는가?
• RQ2 컴 pact 오픈 부분군에서 유도된 표현의 관점에서 코homology 군 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 유도된 표현은 어떻게 딜레인-루스티그 패턴과 유한체 위의 유한군 표현과 관련이 있는가?
• RQ4 만일 $\mathbb{T} \otimes_K \widehat{K}^{nr}$ 가 보렐 부분군에 포함된다는 가정을 초월하여 이 구성이 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $\theta$-이소형성 성분과 국소 랑글랜드 상호관계 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 코homology 군 $H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$는 $\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$와 동형이며, 이는 $U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})$의 불가약 표현이다.
• $U^{1}_L / U^{3}_L$ 위의 표현 $\rho_{\chi}$는 $\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$로 실현되며, $\chi^\sharp$는 $\bar{\zeta}$에 의한 코너제이션에 대해 불변이다.
• 캐릭터 합 $\sum_{\delta \in \ker(\operatorname{Tr}_{{\mathbb{F}}_{q^2}/{\mathbb{F}}_q})} \psi(\delta) = 0$는 $\sum_{\delta} \psi(\delta) \cdot \sum_{\beta} N''(\lambda, \delta, \beta) = q^2$를 함의한다.
• 합 $\sum_{\gamma \in U^1_L / U^3_L} \chi_1(\gamma)^{-1} \chi_2(\gamma)$는 $\chi_1 = \chi_2$이면 $q^4$이며, 그렇지 않으면 0이 되며, 이는 이소형성 성분의 중복도가 1임을 확인한다.
• 표현 $R^2_{{\mathbb{T}}, \theta}$는 0이 아니며 $\operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$로 주어지며, $\theta^\sharp$는 $\chi^\sharp$를 확장한다.
• 유도 표현에서 $\bar{\zeta}$의 추적은 1이며, 이는 유도 표현의 유일성과 불가약성을 확인한다.