[논문 리뷰] Delocalization of eigenvectors of random matrices. Lecture notes

Mark Rudelson|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 26.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 유계인 i.i.d. 성분을 가진 랜덤 행렬의 고유벡터에 대해 간격이 없는 국소화를 확립하며, 비무시적인 부분집합이 1보다 작은 질량을 지닌다는 것을 증명한다. 푸리에 분석과 소구간 확률 추정을 통해 1/4-노름 국소화를 도출하며, 이를 에르되시-레니 즈 랜덤 그래프에 적용하여, 양 또는 음의 고유벡터 값이 있는 큰 정점 집합에서 간선 추가에 대해 스펙트럼 간격이 강건함을 보인다.

ABSTRACT

Let $x \in S^{n-1}$ be a unit eigenvector of an $n imes n$ random matrix. This vector is delocalized if it is distributed roughly uniformly over the real or complex sphere. This intuitive notion can be quantified in various ways. In these lectures, we will concentrate on the no-gaps delocalization. This type of delocalization means that with high probability, any non-negligible subset of the support of $x$ carries a non-negligible mass. Proving the no-gaps delocalization requires establishing small ball probability bounds for the projections of random vector. Using Fourier transform, we will prove such bounds in a simpler case of a random vector having independent coordinates of a bounded density. This will allow us to derive the no-gaps delocalization for matrices with random entries having a bounded density. In the last section, we will discuss the applications of delocalization to the spectral properties of Erdős-Rényi random graphs.

연구 동기 및 목표

• 밀도가 유계인 i.i.d. 성분을 가진 랜덤 행렬의 고유벡터에 대해 간격이 없는 국소화를 확립하여 질량 분포에 큰 빈 공간이 없도록 보장한다.
• 특히 독립적인 좌표를 가진 랜덤 벡터의 사영에 대해 푸리에 분석을 사용하여 소구간 확률 추정을 개발한다.
• 이러한 추정을 확장하여 실수 및 복소수 랜덤 행렬에 대해 1/4-노름 국소화를 유도한다.
• 이러한 국소화 결과를 에르되시-레니 즈 랜덤 그래프의 스펙트럼 성질에 적용하여, 간선 추가에 대한 스펙트럼 간격의 강건성에 대해 다룬다.
• 정규화된 라플라시안의 스펙트럼 간격이 일관된 고유벡터 부호를 가진 큰 정점 부분집합에서 간선 추가에 대해 강건함을 증명한다.

제안 방법

• 독립적인 좌표를 가진 랜덤 벡터의 사영에 대해 소구간 확률 추정을 도출하기 위해 푸리에 변환을 사용한다.
• 이 추정을 적용하여 간격이 없는 국소화를 증명하며, 비무시적인 부분집합이 비무시적인 질량을 지닌다는 것을 보인다.
• 측도 집중과 1/4-노름 추정을 사용하여 고유벡터의 무한노름을 제어한다.
• 고유벡터 국소화를 사용하여 에르되시-레니 즈 랜덤 그래프의 정규화된 라플라시안을 분석하여 스펙트럼 간격 안정성 평가를 수행한다.
• 고유벡터의 구조와 그 무한노름을 이용하여 양성 및 음성 부호 집합 내 비간선 수를 추정하며, 스펙트럼 간격의 강건성과 연결한다.
• 매개변수 $s$와 $\varepsilon$를 사용하여 정리 7을 적용하여, 작은 고유벡터 값이 있는 큰 좌표 집합이 나타나는 확률이 지수적으로 작다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 유계라는 조건 하에 푸리에 분석을 사용하여 랜덤 벡터의 사영에 대한 소구간 확률 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 밀도가 유계인 i.i.d. 성분을 가진 랜덤 행렬의 고유벡터에 대해 간격이 없는 국소화가 성립하는가?
• RQ3 이러한 행렬에서 고유벡터의 무한노름에 대한 정량적 추정은 무엇인가?
• RQ4 고유벡터 국소화는 에르되시-레니 즈 랜덤 그래프의 스펙트럼 간격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일관된 고유벡터 부호를 가진 큰 정점 부분집합에서 간선 추가에 대해 스펙트럼 간격이 어느 정도 강건한가?

주요 결과

• 밀도가 유계인 i.i.d. 성분을 가진 랜덤 행렬에서 고유벡터의 무한노름은 고확률적으로 $C n^{-1/4} \log^C n$ 이하로 유 bounds된다.
• 간격이 없는 국소화가 성립한다: 비무시적인 부분집합은 소구간 확률 추정을 통해 비무시적인 질량을 지닌다.
• 에르되시-레니 즈 랜덤 그래프에서 두 번째 고유벡터의 양성 및 음성 부호 집합 내 비간선 비율은 고확률적으로 $1/2 - O(n^{-c})$ 이상이다.
• 정규화된 라플라시안의 스펙트럼 간격은 강건하다: 큰 양성 또는 음성 부호 집합 내 비간선을 추가하면 스펙트럼 간격이 감소한다.
• 큰 좌표 집합이 작은 고유벡터 값을 가질 확률은 최대 $\exp(-\varepsilon n)$ 이며, 이는 $\ll \exp(-c \log^2 n)$ 이다.
• 결과적으로, $G \sim G(n,p)$ 이면 고확률적으로 $a_-(G) \geq \frac{1}{2} - O(n^{-c})$ 임을 의미하며, 스펙트럼 간격 강건성에 대한 추측의 강력한 형태를 확인한다.