[논문 리뷰] Delocalized equivariant coholomogy of symmetric products

Jian Zhou|ArXiv.org|1999. 10. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 물리학과 관련된 적절한 군형식을 사용하여 닫힌 복소다양체의 대칭적 곱의 delocalized 등변 cohomology의 Poincaré 및 Hodge 다항식을 계산한다. 이는 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 공식의 특수한 경우인 타원형 다항식을 복원하고, 이전의 등변 K-이론 작업을 확장하여 직접 합의 cohomology 군 위에 Heisenberg 초대수 작용을 구축한다.

ABSTRACT

For any closed complex manifold $X$, we calculate the Poincaré and Hodge polynomials of the delocalized equivariant cohomology $H^*(X^n, S_n)$ with a grading specified by physicists. As a consequence, we recover a special case of a formula for the elliptic genera of symmetric products in Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde \cite{Dij-Moo-Ver-Ver}. For a projective surface X, our results matches with the corresponding formulas for the Hilbert scheme of X^[n]. We also give geometric construction of an action of a Heisenberg superalgebra on $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$, imitating the constructions for equivariant K-theory by Segal \cite{Seg} and Wang \cite{Wan}. There is a corresponding version for $H^{-*, *}$.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 복소다양체 $X$에 대해 대칭적 곱의 delocalized 등변 cohomology $H^*(X^n, S_n)$의 Poincaré 및 Hodge 다항식을 계산한다.
• 대칭적 곱의 타원형 다항식에 대한 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 공식의 특수한 경우를 복원한다.
• $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 위에 Heisenberg 초대수의 기하학적 작용을 구축한다. 이는 등변 K-이론에서 Segal과 Wang의 구성과 유사하다.
• 만일 $X$가 사영 곡면이라면, cohomological 공식이 Hilbert scheme와 일치함을 확립한다.

제안 방법

• 군 작용의 자료를 휘감은 twisted cohomology를 통해 $S_n$-등변 cohomology에 delocalized 클래스를 포함시킨다.
• 특히 conformal field theory에 기반한 물리적 이론에 영감을 얻은 군형식을 도입하여 cohomology의 구조를 정리한다.
• 등변 cohomology 및 Hodge 이론 기법을 활용하여 Poincaré 및 Hodge 다항식을 계산한다.
• 대칭적 곱의 구조를 이용하여 cohomology 군의 직접 합 위에 기하학적 Heisenberg 초대수 작용을 구성한다.
• 표면의 Hilbert scheme에 대한 기존 결과를 활용하여 cohomological 공식을 비교하고 검증한다.
• 기존 구성과 일관성을 유지하면서, $H^{-*,*}$의 이중 버전을 포함하도록 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 복소다양체에 대해 대칭적 곱의 delocalized 등변 cohomology의 Poincaré 및 Hodge 다항식은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 계산된 cohomology는 대칭적 곱의 타원형 다항식에 대해 알려진 공식, 특히 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 공식을 복원하는가?
• RQ3 등변 K-이론에서의 구성과 유사하게, 대칭적 곱의 등변 cohomology 군의 직접 합 위에 Heisenberg 초대수의 기하학적 작용을 구성할 수 있는가?
• RQ4 만일 $X$가 사영 곡면이라면, 대칭적 곱의 cohomological 불변량은 Hilbert scheme의 것과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 지정된 군형식은 cohomology를 정리하고 물리적 이론과 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $X$가 임의의 닫힌 복소다양체일 때, $H^*(X^n, S_n)$의 Poincaré 및 Hodge 다항식이 물리학적 관례에 맞는 군형식과 함께 명시적으로 계산된다.
• 결과는 Dijkgraaf, Moore, Verlinde, Verlinde가 유도한 대칭적 곱의 타원형 다항식 공식의 특수한 경우를 복원한다.
• 사영 곡면 $X$에 대해, cohomological 공식은 Hilbert scheme $X^{[n]}$의 것과 일치하며, 알려진 대수기하학적 불변량과의 일致성을 확인한다.
• $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 위에 Heisenberg 초대수의 기하학적 작용이 구축되었으며, 이는 Segal과 Wang의 등변 K-이론에서의 구성들을 일반화한다.
• $H^{-*,*}$의 이중 버전이 정의되었고, 이에 대해 이중 Heisenberg 초대수 작용이 존재함을 보였다.
• 이 구성은 대칭적 곱 cohomology의 기초가 되는 Fock 공간의 구조를 cohomological 방식으로 실현하며, 위상수학과 표현 이론을 연결한다.