[논문 리뷰] Delocalized membrane model

М. Г. Иванов|ArXiv.org|2001. 05. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스플라인 이론의 공변적이고 제약 조건이 없는 수식을 제안하며, 막을 목표 다양체 $\mathbf{F}$ 로의 사상 $\mathbf{M} \to \mathbf{F}$ 를 통해 기술한다. 막은 스칼라 장 $\varphi^\alpha: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ 로 기술되며, 이는 차원 $D-n$ 의 목표 다양체 $\mathbf{F}$ 에 대응한다. 주요 기여는 초중력 이론의 $p$-브레인 해를 일반화하는 정규화된, 국소화되지 않은 막 행동이며, 이는 장 기울기의 행렬 $\mathcal{G}^{\alpha\beta}$ 를 통해 비제약 행동에서 직접 도출된 해밀토니안 형식을 포함한다.

ABSTRACT

A model considered in the paper generalizes membrane theory to the case of delocalized membranes. The model admits covariant formulation, which involves no constraints. It generalizes the notion of membrane to the case of smooth distribution of non-intersecting membranes. A generalization of p-brane solution with delocalized membranes is presented.

연구 동기 및 목표

• 기존 막 이론에서의 특이점을 제거하기 위해 점입자형 막을 무한히 가벼운 막의 연속적이고 국소화되지 않은 분포로 대체함으로써.
• 기존 $(\mathbf{V} \to \mathbf{M})$ 막 형식에서 내재된 제약 조건을 제거하기 위해, 시공간 $\mathbf{M}$ 상의 복합 장으로 이론을 재정의함으로써.
• 차원 $D-n$ 의 목표 다양체 $\mathbf{F}$ 를 사용하여 막 역학의 공변적이고 기하학적으로 자연스러운 형식을 제공함으로써 직접 해밀토니안 형식을 가능하게 하기 위해.
• 초중력 이론의 $p$-브레인 해를 새로운 행동을 통해 국소화되지 않은 소스를 포함하도록 일반화하기 위해, 반대칭 텐서 장과 사영 에너지-모멘텀 텐서를 포함하는 행동을 제안함.

제안 방법

• 스칼라 장 $\varphi^\alpha: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ 를 통해 국소화되지 않은 막을 기술하는 새로운 행동 $S_{\mathbf{M} \to \mathbf{F}} = -\int_{\mathbf{M}} d^D X \sqrt{|g|} \sqrt{\det(g^{MN} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N})}$ 를 제안한다.
• 행렬 $\mathcal{G}^{\alpha\beta} = g^{MN} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N}$ 과 그 역행렬 $\mathcal{G}_{\alpha\beta}$ 를 정의하며, 이는 막 분포의 유도 기하학을 캡슐화한다.
• 행동에 대해 $\varphi^\alpha$ 에 대해 변분을 취하여 운동 방정식을 유도한다. 결과적으로 $\partial_M \left( \sqrt{\frac{|g|}{\mathcal{G}}} \mathcal{G}_{\alpha\beta} g^{MN} \varphi^\beta_{,N} \right) = 0$ 을 얻는다.
• 에너지-모멘텀 텐서를 $T_{MN} = -\frac{1}{\sqrt{\mathcal{G}}} \left( g_{MN} - \mathcal{G}_{\alpha\beta} \varphi^\alpha_{,M} \varphi^\beta_{,N} \right)$ 로 정의하며, 이는 사영 성질 $T_{MN} = -\rho \mathcal{P}_{MN}$ 을 만족한다.
• canonical momenta $p_\alpha = -\sqrt{\frac{|g|}{\mathcal{G}}} \mathcal{G}_{\alpha\beta} \partial^0 \varphi^\beta$ 를 사용하여, 해밀토니안 밀도 $\mathcal{H} = \sqrt{ \frac{|g|}{\mathcal{G}^0} - \frac{h^{\alpha\beta}}{g^{00}} p_\alpha p_\beta } - \frac{g^{0m}}{g^{00}} \varphi^\alpha_{,m} p_\alpha$ 를 유도한다.
• 국소화되지 않은 막을 $(n+1)$-형식 장과 결합하여 일반화된 $p$-브레인 해를 구성한다. 계량은 $ds^2 = H^{-2/q} \eta_{ij} dX^i dX^j + H^{2/(D-q-2)} \delta_{\alpha\beta} dX^\alpha dX^\beta$ 이며, 여기서 $H$ 는 조화 함수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 막 이론에서의 특이하고 점입자형 막을 제약 조건과 특이한 소스를 피하기 위해 어떻게 정규화할 수 있는가?
• RQ2 기존의 $x: \mathbf{V} \to \mathbf{M}$ 이 아니라 $\varphi: \mathbf{M} \to \mathbf{F}$ 의 이중 장 사상 $\varphi$ 를 사용하여 공변적이고 제약 조건이 없는 막 역학 형식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 에너지-모멘텀 텐서는 국소화되지 않은 막 모델에서 기하학적이고 역학적으로 어떤 역할을 하는가? 그리고 사영 성질과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 제약 조건을 해결하지 않고도 행동에서 직접 해밀토니안 형식이 어떻게 도출되는가? 그리고 $\mathcal{G}^{\alpha\beta}$ 행렬에 대해 그 형식은 어떻게 되는가?
• RQ5 초중력 이론의 표준 $p$-브레인 해는 이 새로운 형식을 통해 국소화되지 않은 연속적인 막 분포를 포함하도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 $(\mathbf{M} \to \mathbf{F})$-접근법은 국소화되지 않은 막에 대해 완전히 공변적이고 제약 조건이 없는 행동을 제공하며, 장의 수를 $D$ 에서 $D-n$ 으로 줄이고 $(\mathbf{V} \to \mathbf{M})$ 형식에서 존재하는 $n$ 개의 제약 조건을 제거한다.
• 에너지-모멘텀 텐서는 사영 성질 $T_{MN} = -\rho \mathcal{P}_{MN}$ 을 만족하며, 여기서 $\mathcal{P}_{MN}$ 은 질량 수 $n$ 인 정규 직교 프로젝터이다. 이는 올바른 막 유사 역학을 보장한다.
• 해밀토니안 밀도는 비제약 행동에서 직접 도출되며, 민코프스키 공간에서는 $\mathcal{H} = \sqrt{ \det(h^{\alpha\beta}) + h^{\alpha\beta} p_\alpha p_\beta }$ 로 표현되며, 운동량에 대한 비선형적 의존성을 보여준다.
• 국소화되지 않은 막을 $(n+1)$-형식 장과 결합한 $D$ 차원 시공간에 대해 일반화된 $p$-브레인 해를 구성하였다. 계량 성분은 조화 함수 $H$ 에 따라 달라지며, 소스 전류는 $J = -h^2 \triangle H \, dX^q \wedge \dots \wedge dX^{D-1}$ 이다.
• 해는 $D=4$, $q=1$ 일 때 $H$ 가 조화적이며 소스로부터 멀리 떨어진 곳에서 $\triangle H = 0$ 이면, 막주무-파파페트루 해와 일치하며, 알려진 극한 블랙홀 해와의 일致성을 보여준다.
• 행동는 $\mathbf{M}$ 과 $\mathbf{F}$ 에서의 미분형식 불변성에 대해 불변이며, 이는 $\mathbf{F}$ 가 막의 모듈리 공간으로서의 해석을 뒷받침하는 완전한 공변성을 보장한다.