[논문 리뷰] Dense induced bipartite subgraphs in triangle-free graphs

Matthew Kwan, Shoham Letzter외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최소 차수 $d$를 갖는 모든 $H$-free 그래프가 최소 차수 $c_H \log d / \log \log d$ 이상을 갖는 유도된 이분 그래프를 포함함을 입증한다. 이는 에스페레트, 캥, 토마세가 제안한 추측을 거의 확정한다. 결과는 로그 인자에 대해 최적임을 보이며, 조밀한 삼각형 없는 그래프로까지 확장 가능하다. 이 경우 상한은 $\Theta(\log d)$로 향상되며, 극한 그래프 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The problem of finding dense induced bipartite subgraphs in $H$-free graphs has a long history, and was posed 30 years ago by Erdős, Faudree, Pach and Spencer. In this paper, we obtain several results in this direction. First we prove that any $K_t$-free graph with minimum degree at least $d$ contains an induced bipartite subgraph of minimum degree at least $c_t \log d/\log \log d$, confirming (asymptotically) several conjectures by Esperet, Kang and Thomassé. Complementing this result, we further obtain optimal bounds for this problem in the case of dense triangle-free graphs, and we also answer a question of Erdős, Janson, Łuczak and Spencer.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프에 관한 에르되시, 포드레, 파치, 스펜서가 제기한 오랜 동안 남아있던 추측을 해결하기 위해.
• 최소 차수 $d$를 갖는 $H$-free 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최소 차수에 대한 날카로운 하한을 확립하기 위해.
• 조밀한 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최소 차수의 단계 전이 행동을 다루기 위해.
• 제한된 그래프 계열에서 Max Cut 문제와 유도된 이분 그래프에 관한 이전 결과를 향상시키기 위해.
• $d$-퇴화 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프와 분수 색칠 수의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 확률론적 및 극한 조합 기법을 사용하여 삼각형 없는 그래프에 대한 주요 결과를 증명한다.
• 그래프 블로업과 유도된 부분그래프 성질에 기반한 감소 추론을 통해 일반적인 $H$-free 경우를 삼각형 없는 경우로 환원한다.
• 랜덤 그래프 구성법을 사용하여 $\log d / \log \log d$ 상한이 로그 인자에 대해 최적임을 보인다.
• 최대 최소 차수 $g(n,d)$를 분석한다. 이는 $n$개 정점, 최소 차수 $d$를 갖는 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수이며, $d = \sqrt{n}$에서 단계 전이가 발생함을 규명한다.
• 특정 삼각형 없는 그래프의 블로업을 통해 극한 그래프를 구성하여 $g(n,d)$에 대한 상한을 확립한다.
• 분수 색칠과 색칠 수의 연결 고리를 활용하여 다른 증명 전략을 탐색하고, 상한의 날카로움을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수 $d$를 갖는 $H$-free 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수는 얼마인가?
• RQ2 유도된 이분 그래프에 대한 $\Omega(\log d / \log \log d)$ 상한이 $\Omega(\log d)$로 향상될 수 있는가?
• RQ3 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수는 $n$과 $d$의 함수로 어떻게 행동하는가?
• RQ4 $d$-퇴화 삼각형 없는 그래프의 분수 색칠 수는 $O(d / \log d)$로 유계가 되는가? 이는 유도된 이분 그래프에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특히 $d = \sqrt{n}$ 근처에서 삼각형 없는 그래프에서 유도된 이분 그래프의 최소 차수의 정확한 임계 행동은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 고정된 그래프 $H$에 대해, 최소 차수 $d$를 갖는 모든 $H$-free 그래프는 최소 차수 $c_H \log d / \log \log d$ 이상을 갖는 유도된 이분 그래프를 포함한다. 여기서 $c_H \geq \varepsilon^{|H|}$이며, $\varepsilon > 0$이다.
• 상한 $\Omega(\log d / \log \log d)$는 거의 최적이다. 랜덤 그래프 구성법을 통해 일반적으로 $\Omega\big(\log d\big)$ 상한이 불가능함을 보여준다.
• 삼각형 없는 그래프에서 $d \leq \sqrt{n}$일 경우, 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수는 $\Theta(\log d)$이며, 이는 날카로운 상한임을 확인한다.
• 삼각형 없는 그래프에서 $\sqrt{n} < d \leq n/2$일 경우, 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수는 $\Theta(d^2 \log d / n)$이며, 이는 조밀도의 급격한 감소를 보여준다.
• 최소 차수 $d \geq n^{2/3}$일 경우, 유도된 이분 그래프의 최대 최소 차수는 $O(d^2 / n)$이며, 이 상한은 로그 인자에 대해 최적이다.
• 조밀한 영역($d \geq n^{2/3}$)에서 $g(n,d)$의 상한은 특정 삼각형 없는 그래프의 블로업 구성에 의해 달성되며, 결과의 최적성은 이를 입증한다.