[논문 리뷰] Dense locally finite subgroups of Automorphism Groups of Ultraextensive Spaces

Mahmood Etedadialiabadi, Su Gao외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 29.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Vershik의 추측을 확인하며, Hall의 보편적 가산 국소 유한군이 알려진 모든 무한 초확장 공간의 등장 및 자기동형군에 조밀하게 통합됨을 증명한다. 이는 Urysohn 공간, 유리수 Urysohn 공간, 무작위 그래프, 보편적 $K_n$-자유 그래프를 포함한다. 유한 거리 공간과 유한 군 작용을 갖는 관계 구조의 Fraïssé 극한을 사용하여, 보편적 조밀 통합을 구축하고, 거리 값 집합을 통해 $∞$-거리 공간의 등장군을 특성화한다.

ABSTRACT

We verify a conjecture of Vershik by showing that Hall's universal countable locally finite group can be embedded as a dense subgroup in the isometry group of the Urysohn space and in the automorphism group of the random graph. In fact, we show the same for all automorphism groups of known infinite ultraextensive spaces. These include, in addition, the isometry group of the rational Urysohn space, the isometry group of the ultrametric Urysohn spaces, and the automorphism group of the universal $K_n$-free graph for all $n\\geq 3$. Furthermore, we show that finite group actions on finite metric spaces or finite relational structures form a Fra\\"iss\\'{e} class, where Hall's group appears as the acting group of the Fra\\"iss\\'{e} limit. We also embed continuum many non-isomorphic countable universal locally finite groups into the isometry groups of various Urysohn spaces, and show that all dense countable subgroups of these groups are mixed identity free (MIF). Finally, we give a characterization of the isomorphism type of the isometry group of the Urysohn $\\Delta$-metric spaces in terms of the distance value set $\\Delta$.

연구 동기 및 목표

• Vershik의 추측을 검증한다: Hall의 보편적 가산 국소 유한군이 Urysohn 공간의 등장군과 무작위 그래프의 자기동형군에 조밀하게 통합됨을 입증한다.
• 이 결과를 알려진 모든 무한 초확장 공간으로 일반화한다. 이는 보편적 $∞$-거리 공간, 초거리 Urysohn 공간, 보편적 $K_n$-자유 그래프를 포함한다.
• 유한 거리 공간 또는 관계 구조에 대한 유한 군 작용이 Fraïssé 클래스를 이룬다는 것을 보이며, Hall의 군이 이러한 구조의 Fraïssé 극한으로 나타남을 보인다.
• Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군에 조밀하게 통합된 연속체 개의 비동형 가산 보편 국소 유한군(모든 것이 통합되는 군)을 구축한다.
• Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군의 동형 유형을 그 거리 값 집합 $∞$로 특성화한다.

제안 방법

• 등장의 유한 $∞$-거리 공간과 유한 군 작용을 갖는 구조의 Fraïssé 극한을 구성하기 위해 Fraïssé 클래스 이론을 사용한다.
• Rosendal의 유한 거리 공간에서의 확장에 대한 RZ성질(Ribes–Zalesskii 성질) 특성화를 적용한다.
• HL성질(Herwig–Lascar)의 적응 및 유한 첨수 확장에 대한 닫힘 성질을 이용하여 금지 부분구조를 갖는 관계 구조를 다룬다.
• Fraïssé 극한을 통한 Hall의 군 $∞$의 보편적 조밀 통합을 등장군 및 자기동형군에 구축한다.
• 모든 것이 통합되는 군을 정의하고, 이를 일반화하여 기하급수적으로 많은 비동형 조밀 국소 유한 부분군을 생성한다.
• 정점의 단순성과 안정자군의 공轭류 성질을 사용하여, 서로 다른 Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군 간의 동형관계를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hall의 보편적 가산 국소 유한군 $∞$는 Urysohn 공간의 등장군과 무작위 그래프의 자기동형군에 조밀하게 통합되는가?
• RQ2 유한 $∞$-거리 공간과 유한 군 작용을 갖는 구조의 Fraïssé 극한이 보편 $∞$-거리 공간의 등장군에 Hall의 군을 조밀한 부분군으로 제공하는가?
• RQ3 Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군에 조밀하게 통합된 연속체 개의 비동형 가산 국소 유한군이 존재하는가?
• RQ4 Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군의 동형 유형은 그 거리 값 집합 $∞$로 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ5 서로 동치가 아닌 거리 값 집합 $∞$와 $∜$에 대해, 한 등장군의 조밀한 가산 국소 유한 부분군이 다른 등장군에 조밀하게 통합될 수 없는가?

주요 결과

• Hall의 보편적 가산 국소 유한군 $∞$는 Urysohn 공간 $∞$의 등장군에 조밀하게 통합된다.
• 동일한 군 $∞$는 유리수 Urysohn 공간 $∞$의 등장군에 조밀하게 통합된다.
• 보편 $∞$-거리 공간 $∞$의 등장군은 임의의 거리 값 집합 $∞$에 대해 Hall의 군 $∞$의 조밀한 복사본을 포함한다.
• 초거리 Urysohn 공간의 등장군 역시 Hall의 군 $∞$의 조밀한 복사본을 포함한다.
• 무작위 그래프 $∞$와 $n\geq3$인 보편 $K_n$-자유 그래프의 자기동형군은 각각 Hall의 군 $∞$의 조밀한 복사본을 포함한다.
• 연속체 개의 비동형 가산 모든 것이 통합되는 군이 존재하며, 각각 Urysohn $∞$-거리 공간의 등장군에 조밀하게 통합된다.