[논문 리뷰] Dense sets of integers with prescribed representation functions

Javier Cilleruelo, Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 21.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $로 가는 모든 정수 계수 함수 $ f $ 중에서 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 를 만족하는 함수는 $ B_h[g] $ 수열에 희박한 보조 수열을 첨가하여 구성된 $ \mathcal{A} \subset \mathbb{Z} $ 의 $ h $-중 복제 함수 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 로 표현될 수 있음을 증명한다. 주요 결과는 이러한 $ \mathcal{A} $ 가 $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ 와 같이 밀도를 갖도록 만들 수 있으며, 여기서 $ \mathcal{B} $ 는 $ B_h[g] $ 수열이고 $ \epsilon(x) \to 0 $ 이며, 이에 따라 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 를 얻을 수 있다. 이는 $ B_h[g] $ 수열의 최고로 알려진 밀도와 일치한다.

ABSTRACT

Let A be a set of integers and let h \geq 2. For every integer n, let r_{A, h}(n) denote the number of representations of n in the form n=a_1+...+a_h, where a_1,...,a_h belong to the set A, and a_1\leq ... \leq a_h. The function r_{A,h} from the integers Z to the nonnegative integers N_0 U {\infty} is called the representation function of order h for the set A. We prove that every function f from Z to N_0 U {\infty} satisfying liminf_{|n|->\infty} f (n)\geq g is the representation function of order h for some sequence A of integers, and that A can be constructed so that it increases "almost" as slowly as any given B_h[g] sequence. In particular, for every epsilon >0 and g \geq g(h,epsilon), we can construct a sequence A satisfying r_{A,h}=f and A(x)\gg x^{(1/h)-epsilon}.

연구 동기 및 목표

• 주어진 함수 $ f(n) $ 에 대해 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 를 만족할 때, 그 $ h $-중 복제 함수 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 와 일치하는 정수 집합 $ \mathcal{A} $ 의 최대 가능 밀도를 결정하는 것.
• 복제 함수 문제와 밀도가 높은 $ B_h[g] $ 수열의 구성 간의 연결 고리를 확립하는 것. 이는 기존에 밀도가 높은 $ B_h[g] $ 수열을 구성하는 것이 매우 어려운 것으로 알려져 있다.
• 모든 그러한 함수 $ f $ 는 $ \mathcal{B} $ 가 $ B_h[g] $ 수열이고 $ \epsilon(x) \to 0 $ 일 때, $ \mathcal{A}(x) $ 가 $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ 와 같이 증가하는 집합 $ \mathcal{A} $ 의 형태로 실현될 수 있음을 보여주는 것.
• Nathanson의 이전 결과인 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/(2h-1)} $ 에 비해, 임의의 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 를 달성함으로써 $ B_h[g] $ 수열의 최고로 알려진 하한 밀도와 일치시키는 것.

제안 방법

• 기본적으로 주어진 $ B_h[g] $ 수열 $ \mathcal{B} $ 로 시작하여, 초기 복제 수를 $ g $ 이하로 제한한다.
• 특정 목표 값 $ z_k $ 에서 $ f(z_k) > r_{\mathcal{A}_{k-1},h}(z_k) $ 를 만족할 경우, 복제 수를 증가시키기 위해 점진적으로 희박한 보조 수열 $ \mathcal{U} = \{u_k\} $ 을 $ \mathcal{B} $ 에 추가한다.
• 수열 $ \mathcal{U} $ 는 요소들을 제어 가능한 밀도와 희박성으로 갖는 새로운 집합을 생성하는 Zeros Inserting Transformation $ T_\gamma^r $ 을 사용하여 구성된다.
• 새로운 표현 방식이 기존 표현에 영향을 주지 않도록 하기 위해, 합성원소 수 $ h-s-t $ 를 기반으로 재귀적 추론을 수행한다.
• 변환 매개수 $ \gamma $ 를 적절히 선택함으로써 $ 2^{-2r\gamma^{-1}(\log_2 x)} \geq \epsilon(x) $ 를 만족함으로써, 최종 집합 $ \mathcal{A} $ 의 밀도가 $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ 이하로 떨어지지 않도록 보장한다.
• 단계 $ k $ 에 대한 수학적 귀납법을 통해, 각 단계에서 모든 $ n $ 에 대해 $ r_{\mathcal{A}_k,h}(n) \leq f(n) $ 이고, 필요한 경우 $ r_{\mathcal{A}_k,h}(z_k) $ 가 $ f(z_k) $ 로 증가함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 함수 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ 중에서 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 를 만족하는 함수는 어떤 정수 집합 $ \mathcal{A} $ 의 $ h $-중 복제 함수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 주어진 $ f $ 에 대해, 계수 함수 $ \mathcal{A}(x) $ 를 기준으로 이러한 집합 $ \mathcal{A} $ 의 최대 가능 밀도는 무엇인가?
• RQ3 기본으로 사용된 $ B_h[g] $ 수열의 밀도와 $ \mathcal{A} $ 의 밀도는 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 이러한 구성이 이론적 하한 밀도 $ x^{1/h - \varepsilon} $ 에 가까운 밀도를 달성할 수 있는가? 이는 기존의 $ B_h[g] $ 수열에 대한 알려진 하한과 일치하는가?

주요 결과

• 모든 함수 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ 중에서 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 를 만족하는 함수는 어떤 정수 집합 $ \mathcal{A} $ 의 $ h $-중 복제 함수 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 로 표현될 수 있다.
• 집합 $ \mathcal{A} $ 는 $ \mathcal{B} $ 가 $ B_h[g] $ 수열이고 $ \epsilon(x) \to 0 $ 일 때, 계수 함수 $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ 를 만족하도록 구성될 수 있다.
• 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해, $ g = g(h, \varepsilon) $ 가 존재하여, $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 를 만족하는 모든 $ f $ 에 대해 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 를 만족한다.
• 이 구성은 $ B_h[g] $ 수열의 최고로 알려진 하한 밀도인 $ \mathcal{B}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 와 일치한다. 이는 Vu (2000) 가 증명한 lin을 따른다.
• $ h = 2 $ 인 경우, 결과는 Nathanson의 기존 결과를 회복하고 개선하며, $ \mathcal{A}(x) \gg x^{\sqrt{2}-1+o(1)} $ 를 달성함으로써 Sidon 집합에 대한 Ruzsa의 구성과 일치한다.
• 이 방법은 임의의 복제 함수를 근사 최적의 밀도로 실현하는 일반적인 프레임워크를 제공하며, [1] 및 [10] 에서 제기된 열린 문제를 해결한다.