[논문 리뷰] Denseness of adapted processes among causal couplings

Mathias Beiglböck, Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 이산적이고 연속적인 시간에서 확률과정의 일반적인 인과적 결합을 적합한 과정들이 어떻게 근사할 수 있는지에 대한 조건을 설정한다. 핵심 결과는 비원소성 조건과 인과성 조건 하에서, 어떤 과정 $X$와 $Y$의 연합분포도 $Y$-적합한 과정 $X^k$에 의해 법적으로 근사될 수 있으며, $X$의 주변분포를 유지할 필요가 없음을 보여주며, 이는 확률적 제어와 인과적 최적 운반 문제에서 제약 조건을 완화할 수 있음을 의미한다.

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable and $X' \stackrel{d}{=} X$. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient causality (or compatibility) condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. In addition, in finite discrete time, we can take $X'$ to have the same law as $X$. A similar approximation is valid for randomized stopping times, without the first marginal fixed. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 몽게-칸토로비치 결합 결과를 확률과정의 동적이고 비예측 가능한 설정으로 확장하기 위해.
• 과정 $X$가 과정 $Y$와 인과적으로 호환되는 조건, 즉 $X$가 미래의 $Y$-정보로부터 조건부 독립일 때를 규명하기 위해.
• 적합한 과정이 인과적 결합 공간 내에서 밀도를 이룬다는 것을 입증하기 위해, $X$-주변분포를 고정할지 여부에 관계없이.
• 확률적 제어 및 인과적 최적 운반 문제에서 적합성 제약 조건을 완화하기 위한 이론적 기초를 마련하기 위해.
• 특히 연속 시간에서 인과적 결합 집합의 볼록성 및 극점의 구조를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 인과성 조건의 핵심으로서, 현재의 $Y$ 정보를 조건으로 하여 $X$-필터레이션과 미래의 $Y$-정보 사이의 조건부 독립성(호환성) 개념을 사용한다.
• 경로공간에서의 약한 수렴을 적용: $(X^k, Y) \Rightarrow (X, Y)$ 는 $\mathcal{Y}^N \times \mathcal{X}^N$ (이산) 또는 $D \times C$ (연속) 경로공간에서.
• 근사하는 $Y$-적합 과정 $X^k$를 구성하기 위해 가측 선택과 정규조건부확률 기법을 활용한다.
• 근사의 존재를 보장하기 위해 각 시간 $t$에서 $Y_t$의 법이 비원소성임을 이용한다.
• 약한 수렴 이론 및 SDE 이론(예: Jacod-Mémin)의 결과를 적용하여 $Z$에 의해 구동되는 SDE의 해의 수렴을 보장한다.
• 제어 제약의 완화를 위해 정리 8.1을 활용하여, ${\mathbb{F}}^Y$-적합 제어 위에서의 최적화가 더 큰 호환 필터레이션 위에서의 최적화와 동일함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $Y$에 대해, 어떤 조건에서 확률과정 $X$가 $Y$-적합 과정들에 의해 법적으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 그러한 근사에서 $X$-주변분포를 유지할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?
• RQ3 인과적 결합 공간에서 적합한 결합의 밀도와 $X$와 $Y$의 호환성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 SDE의 강한 해가 존재하지 않을 경우, 인과적 결합 집합의 극점의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최적화를 위한 적합 제어에 대해, 최적성의 손실 없이 더 큰 호환 필터레이션으로 제약을 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 이산 시간에서, 호환성과 $Y_1$의 비원소성 조건 하에서, $X$와 동일한 법을 가진 $Y$-적합 과정들의 집합은 $(X,Y)$의 연합법에서 밀도를 이룬다.
• 연속 시간에서, 유사한 호환성과 $t>0$에서의 $Y_t$의 비원소성 조건 하에서, $Y$-적합 과정들의 집합은 $(X,Y)$의 연합법에서 밀도를 이룬다. 다만, $X$-주변분포를 일반적으로 유지하는 것은 불가능하다.
• 모든 인과적 결합 집합과 $X$-주변분포를 고정할지 여부에 관계없이, $Y$-적합 결합 집합의 폐포는 인과적 결합 집합과 일치한다.
• 연속 시간에서, 호환성이 성립함에도 불구하고 특정한 $X$와 $Y$에 대해 $Y$-적합 결합이 존재하지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 구성하였다.
• 정리 8.1은 ${\mathbb{F}}^Y$-적합 제어 위에서의 최적화가 더 큰 호환 필터레이션 위에서의 최적화와 동일함을 보여주며, 제어 제약의 완화를 가능하게 한다.
• 인과적 결합 집합은 볼록하지만, 연속 시간에서는 적합 결합 집합이 반드시 극점 집합이 되는 것은 아니며, 이는 이산 시간 또는 랜덤화된 정지 시간의 경우와 다름을 보여준다.