[논문 리뷰] Densities of rational points and number fields

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전이군 $G \leq S_n$ 에서 유도된 몫다양체 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ 를 구성함으로써, 수체의 밀도에 관한 Malle의 추측과 특이 Fano 다양체 위의 유리점에 관한 Batyrev-Tschinkel의 추측 사이에 깊은 연결 고리를 설정한다. $X$ 의 원시적 유리점들의 높이 제타함수는 $G$-체의 수를 셀 수 있도록 인코딩되며, 표준 추측 하에 Malle의 추측이 이러한 다양체에 대해 Batyrev-Tschinkel의 추측을 이끌어내고, $G$-체의 수에 대해 향상된 상계를 제공함을 증명한다.

ABSTRACT

We relate the problem of counting number fields, in particular, Malle's conjecture with the problem of counting rational points on singular Fano varieties, in particular, Batyrev and Tschinkel's generalization of Manin's conjecture.

연구 동기 및 목표

• 특정 갈루아군을 가진 수체와 특이 Fano 다양체 위의 유리점 사이의 대응을 설정하기.
• Malle의 $G$-체의 점근 밀도 추측과 Batyrev 및 Tschinkel의 특이 Fano 다양체 위의 유리점 추측을 연결하기.
• 높이 제타함수와 추측된 해석적 성질을 이용하여 $G$-체의 수에 대한 새로운 상계를 도출하기.
• 지역체 확장과 몫다양체의 전반적 기하학을 연결함으로써 야생 McKay 대응의 전역 해석을 제공하기.

제안 방법

• 전이군 $G \leq S_n$ 에 대해 몫다양체 $X = (\mathbb{P}_K^m)^n / G$ 를 구성하며, $m \cdot \mathrm{ind}(G) \geq 2$ 일 때는 표준 특이점을 가진 Fano 다양체가 된다.
• 다양체 $X$ 의 원시적 $K$-유리점에 대한 높이 제타함수 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ 를 정의하고, $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s) = \frac{1}{\sharp Z(G)} \sum_{L \in G\text{-}\mathrm{Fie}(K)} Z_{\mathbb{P}^m(L^{G_1})^{\mathrm{orig}}}(s)$ 를 통해 $G$-체 위의 가중합으로 표현됨을 보임.
• 높이 제타함수의 추측된 해석적 행동—특히 $s=1$ 에서의 극의 위치와 차수—를 이용해 $G$-체의 수에 대한 점근 정보를 도출함.
• 디리클레 급수의 수렴의 부채를 이용해 $M_{G,K}(B)$ 의 성장률을 $\sum_F |N_{K/\mathbb{Q}}(D_{F/K})|^{-s}$ 의 수렴성과 연결함. 부분합의 성장에 대해 레마 6.14 를 활용함.
• 높이 제타함수의 해석적 행동과 국소 밀도의 수렴에 관한 추측 6.9, 6.11, 6.12 를 가정하여 전역적 상계를 도출함.
• $m \cdot \mathrm{ind}(G) > 2$ 라면 $X$ 는 단순 특이점을 가지며 $\mathrm{cd}(X) = 0$ 이므로, $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ 가 $s=1$ 에서의 극의 차수는 피카르 수와 특이점을 반영하며, 이는 Batyrev-Tschinkel의 추측과 연결됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체 $K$ 위에서의 $G$-체의 수를 특이 Fano 다양체 위의 유리점 분포와 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ2 Malle의 수체의 밀도 추측과 Batyrev-Tschinkel의 특이 Fano 다양체 위의 유리점 추측 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 몫다양체 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ 의 높이 제타함수가 $G$-체의 점근적 성장 정보를 어떻게 인코딩할 수 있는가?
• RQ4 높이 제타함수의 극 차수가 Malle의 추측에서의 불변량인 $\mathrm{ind}(G)$ 와 $\beta(G,K)$ 를 반영하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 다양체 $X$ 의 표준 특이점은 지역체 확장과 전역 기하학을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 추측 6.9, 6.11, 6.12 하에, 높이 제타함수 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ 가 $s=1$ 에서 단순 극을 가질 필요조건과 충분조건은 $\sum_{F \in G\text{-}\mathrm{fie}(K)} \delta_{F,m} < \infty$ 이며, 이는 제타함수의 해석적 행동과 국소 밀도의 수렴성을 연결한다.
• 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $m = \lceil 3/\mathrm{ind}(G) \rceil$ 일 때, $M_{G,K}(B) \ll B^{m/2 + \epsilon}$ 를 증명함으로써 기존 상계를 향상시킴.
• $G = S_n$ 이면 상한은 $M_{S_n,K}(B) \ll B^{3/2 + \epsilon}$ 로, $G = A_n$ 이면 $M_{A_n,K}(B) \ll B^{1 + \epsilon}$ 로, 이는 이전의 지수적 또는 다항식 상한보다 크게 향상됨.
• 동일한 추측 하에 Malle의 추측이 다양체 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ 에 대해 Batyrev-Tschinkel의 추측을 이끌어냄을 보여줌.
• 지역체 확장의 가중 수와 몰입다양체의 스트링이론 불변량을 연결함으로써 야생 McKay 대응의 전역 해석을 설정함.
• $m \cdot \mathrm{ind}(G) = 2$ 인 경우는 여전히 열려 있으며, 이 경우 극의 차수는 $\mathrm{cd}(X) + 1 = \beta(G,K) + 1$ 으로 예상되지만, 증명은 아직 존재하지 않음.