[논문 리뷰] Density Tracking by Quadrature for Stochastic Differential Equations

Harish S. Bhat, R. W. M. A. Madushani|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률미분방정식(SDE)의 해의 확률밀도함수를 계산하기 위해 시간에 대한 오일러-마루야마 이산화와 공간에 대한 삼각형 적분을 조합한 밀도 추적의 적분법(DTQ)을 소개한다. 이 방법은 Markov 체인 밀도로의 $L^1$에서 지수 수렴을 달성하고 진짜 SDE 밀도로는 일계 수렴을 보이며, 동일한 정확도에서 Fokker-Planck 해법보다 빠른 성능을 보인다.

ABSTRACT

We develop and analyze a method, density tracking by quadrature (DTQ), to compute the probability density function of the solution of a stochastic differential equation. The derivation of the method begins with the discretization in time of the stochastic differential equation, resulting in a discrete-time Markov chain with continuous state space. At each time step, DTQ applies quadrature to solve the Chapman-Kolmogorov equation for this Markov chain. In this paper, we focus on a particular case of the DTQ method that arises from applying the Euler-Maruyama method in time and the trapezoidal quadrature rule in space. Our main result establishes that the density computed by DTQ converges in $L^1$ to both the exact density of the Markov chain (with exponential convergence rate), and to the exact density of the stochastic differential equation (with first-order convergence rate). We establish a Chernoff bound that implies convergence of a domain-truncated version of DTQ. We carry out numerical tests to show that the empirical performance of DTQ matches theoretical results, and also to demonstrate that DTQ can compute densities several times faster than a Fokker-Planck solver, for the same level of error.

연구 동기 및 목표

• SDE 해의 확률밀도함수를 수치적으로 수렴하는 방법을 개발하기 위해.
• 밀도 근사의 이론적 수렴성을 Markov 체인 밀도와 진짜 SDE 밀도 양쪽에 대해 확립하기 위해.
• 확산 과정의 통계적 추론을 위한 Fokker-Planck 해법에 대한 계산적으로 효율적인 대안을 제공하기 위해.
• 공간 및 시간 이산화의 영향을 수렴 속도와 정규화 성질에 분석하기 위해.

제안 방법

• 방법은 SDE를 시간에 대해 오일러-마루야마 방법을 사용하여 이산화함으로써 연속 상태 공간을 가진 이산 시간 Markov 체인으로 변환한다.
• Chapman-Kolmogorov 방정식을 적용하여 Markov 체인의 밀도의 시간 진화를 모델링한다.
• 등간격 그리드 위에서 삼각형 적분 규칙을 사용하여 공간 이산화를 수행하고, 전이 밀도 적분을 근사한다.
• 결과적으로 유도된 이산 근사 $\hat{p}$ 는 각 단계에서 정규화를 강제하여 확률측도의 무결성을 유지하면서 반복적으로 계산된다.
• 영역 잘라내기 버전의 수렴을 보장하기 위해 찬로프 경계를 유도한다.
• 계산 효율성과 정확도를 검증하기 위해 Fokker-Planck 방정식의 유한차분 해법과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DTQ 근사 $\hat{p}$ 가 SDE의 진짜 밀도 $p$ 로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ2 시간 적분기와 적분 규칙의 선택이 밀도 근사의 수렴성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 DTQ는 동일한 정확도를 유지하면서传통적인 Fokker-Planck 해법보다 더 높은 계산 효율성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 격리된 점에서 확산 계수가 0이 되는 SDE에 대해 DTQ를 확장하기 위해 어떤 수정이 필요한가?
• RQ5 DTQ는 비-와이너 Lévy 과정, 예를 들어 $\alpha$-안정 Lévy 운동으로 구동되는 SDE로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• DTQ 방법은 Markov 체인 밀도 $\tilde{p}$ 로의 $L^1$에서 지수 수렴을 달성하며, 오차는 $O(h^{-1} \exp(-r h^{-\kappa}))$ 로 감소한다. 여기서 $r$ 과 $\kappa$ 는 양수 상수이다.
• $\hat{p}$ 가 진짜 SDE 밀도 $p$ 로 수렴하는 수렴 속도는 일계이며, 오일러-마루야마 이산화의 $O(h)$ 수렴과 일치한다.
• 영역 잘라내기 버전의 수렴을 보장하는 찬로프 경계가 확립되었으며, 실용적 구현에서의 강건성을 보장한다.
• 수치 실험 결과, 동일한 오차 수준에서 DTQ는 Fokker-Planck 해법보다 밀도를 수 차례 더 빠르게 계산하는 것으로 확인되었다.
• 방법은 양호한 정규화 성질을 유지하며, 이산 근사 $\hat{q}$ 가 $L^1$에서 $\tilde{p}$ 로 수렴함을 의미하며, 이는 관련 랜덤 변수의 전체 변화 수렴을 암시한다.
• 초기 결과는 오일러-마루야마를 고계 수치 적분기로 대체할 경우 전이 커널을 재정의함으로써 $p$ 로의 $O(h^2)$ 수렴을 달성할 수 있음을 시사한다.