[논문 리뷰] Dependence between External Path-Length and Size in Random Tries

Michael Fuchs, Hsien‐Kuei Hwang|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 29.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 편향된 및 대칭적인 비트 분포 하에서 랜덤 트라이의 크기와 외부 경로 길이(EPL) 간의 의존성에 대해 조사한다. 포isson화, 멜린 변환 및 수축 방법을 사용하여, 비대칭 케이스에서는 EPL과 크기가 渐진적으로 독립적임을 보이고, 대칭 케이스에서는 강한 주기적 의존성이 있음을 밝혀낸다. 이는 상관관계가 0, 1 또는 주기적 변동을 보이는 이元적인 이변량 정규 근사 분포의 예를 제공한다.

ABSTRACT

We study the size and the external path length of random tries and show that they are asymptotically independent in the asymmetric case but strongly dependent with small periodic fluctuations in the symmetric case. Such an unexpected behavior is in sharp contrast to the previously known results that the internal path length is totally positively correlated to the size and that both tend to the same normal limit law. These two examples provide concrete instances of bivariate normal distributions (as limit laws) whose correlation is $0$, $1$ and periodically oscillating.

연구 동기 및 목표

• 변동하는 비트 편향 하에서 랜덤 트라이의 크기와 외부 경로 길이(EPL) 간의 渐진적 의존성 구조를 분석하기.
• 편향 매개수 p에 따라 EPL과 크기가 극한에서 상관관계 없거나 상관관계가 있는지 확인하기.
• 특히 대칭(p = 1/2)과 비대칭(p ≠ 1/2) 케이스에서 크기와 EPL의 극한 이변량 분포의 성격을 규명하기.
• 크기와 EPL 간 상관관계가 극한에서 0, 1 또는 주기적으로 진동할 수 있음을 입증하며, 내부 경로 길이에 대한 기존 결과와 대비하기.

제안 방법

• 크기 $ S_n $, EPL $ K_n $, 내부 경로 길이 $ N_n $ 의 재귀 관계에 포isson화를 적용하여 문제를 더 다룰 수 있는 형태로 변환한다.
• 멜린 변환 기법을 사용하여 $ S_n $ 과 $ K_n $ 의 渐진적 모멘트와 분산을 분석하며, 특히 $ p = 1/2 $ 인 대칭 케이스에서 집중적으로 다룬다.
• 수축 방법을 활용하여 $ (S_n, K_n) $ 의 渐진적 공동 정규성을 증명하며, 중심화 및 정규화 후 정규 분포로 수렴함을 보인다. 이때 공분산 행렬은 항등행렬을 가진다.
• 대칭 케이스에서의 주기적 변동은 $ \fancyscript{F}[g](n) $ 함수를 통해 포착되며, 이는 $ \log p / \log q $ 의 유리성에 따라 달라진다.
• 원래의 고정된 $ n $ 모델로의 결과 전환을 위해 De-Poissonization 기법을 사용한다.
• 특히 $ p = 1/2 $ 인 경우에 주의를 기울여 $ \mathrm{Cov}(S_n, K_n) $ 의 渐진적 행동을 분석함으로써 $ S_n $ 과 $ K_n $ 간 상관계수를 분석한다. 이 경우 $ K_n $ 의 분산은 $ n \log n $ 가 아니라 선형 순서를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비트 분포가 편향된 경우(p ≠ 1/2) 랜덤 트라이에서 크기와 외부 경로 길이 간의 상관계수가 어떻게 渐진적으로 행동하는가?
• RQ2 대칭 케이스(p = 1/2)에서 크기와 EPL 간의 의존성은 어떤 성격을 가지며, 비대칭 케이스와 다를 바가 있는가?
• RQ3 크기와 EPL의 공동 극한 분포는 이변량 정규분포로 특징지을 수 있는가? 만약 그렇다면, 극한 상관계수의 구조는 어떠한가?
• RQ4 왜 대칭 케이스에서는 EPL의 분산이 $ \Theta(n) $ 으로 스케일링되며, 비대칭 케이스에서는 $ \Theta(n \log n) $ 인가?

주요 결과

• 비대칭 케이스(p ≠ 1/2)에서는 크기 $ S_n $ 과 외부 경로 길이 $ K_n $ 이 渐진적으로 상관관계 없으며, 상관계수는 0으로 수렴한다.
• 대칭 케이스(p = 1/2)에서는 $ S_n $ 과 $ K_n $ 간의 상관계수가 강하게 양의 상관관계를 보이며, $ \log p / \log q $ 의 유리성에 의해 소규모 주기적 변동이 발생한다.
• 중앙화 및 정규화 후 $ (S_n, K_n) $ 의 공동 분포는 이원정규분포로 수렴함을 확인하여 渐진적 공동 정규성을 입증한다.
• 극한에서의 상관계수는 비대칭 케이스에서는 0, 대칭 케이스에서는 1이며 주기적 변동을 보이며, 이는 상관계수가 0, 1 또는 진동하는 값을 가진 이변량 정규 근사의 구체적인 예를 제공한다.
• p ≠ 1/2 일 경우 $ K_n $ 의 분산은 $ \Theta(n \log n) $ 의 순서를 가지지만, p = 1/2 일 경우는 $ \Theta(n) $ 의 순서를 가지며, 이는 $ p = 1/2 $ 에서 계수 $ \lambda = \frac{pq \log^2(p/q)}{h^3} $ 가 0이 되기 때문이다.
• 수축 방법과 포isson화 기법을 통해 $ (S_n, K_n) $ 의 渐진적 공동 정규성을 성공적으로 입증하였으며, $ L_3 $ 수렴 및 행렬 계수의 거의 확실 수렴을 통해 수렴을 증명하였다.