[논문 리뷰] Dependently Typed Folds for Nested Data Types

Peng Fu, Peter Selinger|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 13.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 종속형 타입의 접기(fold)를 도입하여, 종속형 프로그래밍 언어에서 잘 정의된 재귀를 통해 총괄적이고 공식적으로 검증 가능한 프로그래밍을 가능하게 한다. 이 방법은 기존의 접기를 중첩된 자료형으로 일반화하여, 임의의 유형에 대한 귀납 원리를 도출함으로써, 불완전한 집합이나 증명의 무관성에 의존하지 않고도 공식적 검증을 지원한다.

ABSTRACT

We present an approach to develop folds for nested data types using dependent types. We call such folds $ extit{dependently typed folds}$, they have the following properties. (1) Dependently typed folds are defined by well-founded recursion and they can be defined in a total dependently typed language. (2) Dependently typed folds do not depend on maps, map functions and many terminating functions can be defined using dependently typed folds. (3) The induction principles for nested data types follow from the definitions of dependently typed folds and the programs defined by dependently typed folds can be formally verified. (4) Dependently typed folds exist for any nested data types and they can be specialized to the traditional $ extit{higher-order folds}$. Using various of examples, we show how to program and reason about dependently typed folds. We also show how to obtain dependently typed folds in general and how to specialize them to the corresponding higher-order folds.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 자료형의 접기에서 유도되는 바람직한 성질을 갖지 못하는 중첩된 자료형에 대해 잘 정의된 접기를 제공하고자 한다.
• 완전한 종속형 타입 언어에서 잘 정의된 재귀와 종료 보장을 갖는 접기를 정의하는 방법을 개발하고자 한다.
• 이러한 접기로부터 귀납 원리를 도출하여 중첩된 자료형을 포함하는 프로그램의 공식적 검증을 가능하게 하고자 한다.
• 종속형 타입의 접기가 기존의 고차수 접기로 특수화될 수 있으며, 일반 재귀에 의존하지 않고도 맵과 유사한 함수를 지원할 수 있음을 보여주고자 한다.
• 불완전한 Set나 증명의 무관성에 의존하지 않고도, 표준 종속형 타입 언어의 기능만을 사용하여 중첩된 자료형에 대한 공식적 추론의 기반을 마련하고자 한다.

제안 방법

• 중첩된 자료형에 대해 잘 정의된 재귀를 사용하여 종속형 타입의 접기를 정의함으로써 종료성과 총괄성을 보장한다.
• 큰 제거를 사용하여 값에 대한 패턴 매칭을 통해 타입을 계산함으로써, 데이터 수준의 재귀에서 타입 수준의 계산을 가능하게 한다.
• 접기 타입을 성질에 의존하는 타입(p : T → Set)을 지원하도록 일반화함으로써 공식적 검증을 위한 귀납 원리를 도출한다.
• 접기를 중첩된 구조에 대해 재귀 함수로 구성하며, 재귀 호출은 맵과 유사한 변환을 통해 변환된 하위 구조에 적용된다.
• 타입 수준의 매개변수를 적절히 특수화함으로써 종속형 타입의 접기를 기존의 고차수 접기로 복원한다.
• Agda의 타입 체계를 사용하여 접기와 그 귀납 원리를 인코딩함으로써, 등가성 증명(예: 맵의 두 구현 간 등가성)이 반사성과 동치성에 의해 구성될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 중첩된 자료형에 대해서든, 완전하고 잘 정의된 재귀 방식으로 종속형 타입의 접기를 정의할 수 있는가?
• RQ2 접기 정의로부터 직접적으로 중첩된 자료형을 위한 귀납 원리를 도출할 수 있는가? 이를 통해 공식적 검증이 가능해지는가?
• RQ3 종속형 타입의 접기를 기존의 고차수 접기와 맵 함수로 특수화할 수 있는가?
• RQ4 종속형 타입의 접기와 일반화된 멘델러 스타일 반복자나 LNMIt와 같은 기존 형식 체계 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 종속형 타입의 접기에서 도출된 귀납 원리를 사용하여 프로그램 등가성(예: 두 맵의 구현 간 등가성)을 공식적으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 종속형 타입의 접기는 잘 정의된 재귀를 통해 정의되며, Agda와 같은 종속형 타입 언어에서 총괄적이다.
• 접기 구조는 자연스럽게 중첩된 자료형을 위한 귀납 원리를 도출하며, 프로그램 등가성과 같은 성질의 공식적 검증을 가능하게 한다.
• 중첩된 자료형을 위한 맵 함수는 종속형 타입의 접기를 사용하여 정의할 수 있으며, 유도된 귀납 원리를 통해 그 정당성이 공식적으로 증명될 수 있다.
• 이 방법은 LNMIt와 같이 불완전한 Set나 증명의 무관성에 의존하지 않아, 표준 Agda와 더 잘 호환되며 더 기초적인 기반을 제공한다.
• 종속형 타입의 접기는 기존의 고차수 접기로 특수화될 수 있으며, 이는 새로운 접근이 기존 기법을 일반화하고 있음을 보여준다.
• 이 방법은 종속형 타입의 접기의 타입 수준의 구조를 통해 체르치 인코딩과 색인된 표현 방식을 지원한다.