[논문 리뷰] Derivation of a generalized Schr\\"odinger equation for dark matter halos from the theory of scale relativity

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 186인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 Nottale의 척도 상대성 이론을 사용하여 암흑물질 허브에 대한 일반화된 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, 시공간의 분수적 구조에서 기인하는 상수 비선형성과 감쇠항을 도입한다. 이 모델은 초경량 입자가 필요 없이 코어-허브 구조, 평탄한 회전곡선, 쿠스 문제를 설명하며, 관측된 허브 성질과 일치하는 핵심 계수 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s를 제공한다.

ABSTRACT

Using Nottale's theory of scale relativity, we derive a generalized Schr\\"odinger equation applying to dark matter halos. This equation involves a logarithmic nonlinearity associated with an effective temperature and a source of dissipation. Fundamentally, this wave equation arises from the nondifferentiability of the trajectories of the dark matter particles whose origin may be due to ordinary quantum mechanics, classical ergodic (or almost ergodic) chaos, or to the fractal nature of spacetime at the cosmic scale. The generalized Schr\\"odinger equation involves a coefficient ${\\cal D}$, possibly different from $\\hbar/2m$, whose value for dark matter halos is ${\\cal D}=1.02\ imes 10^{23}\\, {\ m m^2/s}$. We suggest that the cold dark matter crisis may be solved by the fractal (nondifferentiable) structure of spacetime at the cosmic scale, or by the chaotic motion of the particles on a very long timescale, instead of ordinary quantum mechanics. The equilibrium states of the generalized Schr\\"odinger equation correspond to configurations with a core-halo structure. The quantumlike potential generates a solitonic core that solves the cusp problem of the classical cold dark matter model. The logarithmic nonlinearity accounts for the presence of an isothermal halo that leads to flat rotation curves. The damping term ensures that the system relaxes towards an equilibrium state. This property is guaranteed by an $H$-theorem satisfied by a Boltzmann-like free energy functional. In our approach, the temperature and the friction arise from a single formalism. They correspond to the real and imaginary parts of the complex friction coefficient present in the scale covariant equation of dynamics that is at the basis of Nottale's theory of scale relativity.

연구 동기 및 목표

• 냉각 암흑물질(CDM) 모델의 소규모 위기, 즉 쿠스-코어 문제와 소행성 부족 문제를 해결하기 위해 암흑물질에 대해 양자 유사 파동 방정식을 도입하기 위해.
• 우주의 척도에서 시공간의 분수적이고 미분 불가능한 성질이 암흑물질 입자에 효과적인 양자 유사 행동을 유도할 수 있음을 보여주기 위해.
• 관측된 허브 성질, 즉 등온 허브와 솔리톤 코어를 재현하는 비선형성과 소산항을 포함한 일반화된 슈뢰딩거 방정식을 유도하기 위해.
• 이론에서 유도된 효과적 계수 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s가 초경량 암흑물질 입자가 필요 없이 관측 제약 조건과 일치함을 보여주기 위해.
• 보일츠만 유사 자유 에너지 함수에 기반한 H-정리에 의해 열역학적 유사성을 확립하고, 시스템이 평형 상태로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스케일 상대성 이론을 사용하여, 소규모 척도에서 시공간이 미분 불가능하다고 간주함으로써 복소수이고 척도 보존성을 가지는 운동 방정식을 유도한다.
• 효과적 온도에서 기인하는 상수 비선형성과 마찰에서 기인하는 감쇠항을 포함한 일반화된 슈뢰딩거 방정식을 도입하며, 이 두 항은 모두 스킴 상대성 이론의 복소 마찰 계수에서 유래한다.
• 마찰이 포함된 고전적 하미르톤-자비 방정식에 슈뢰딩거의 변분 방법을 적용하고, 작용 σ = 2𝒟 lnφ를 대입하여 파동 방정식을 유도한다.
• 효과적 확산 계수 𝒟와 온도 T 및 마찰 계수 ξ 사이의 일반화된 아인슈타인 관계 𝒟 = kBT/(mξ)를 유도하며, 𝒟는 기본 척도 매개변수로 해석된다.
• 보일츠만 유사 자유 에너지 함수에 기반한 H-정리를 사용하여 시스템이 평형 상태로 수렴함을 증명하고, 코어-허브 구성의 안정성을 확보한다.
• 정적 해를 분석하여 양자 유사 잠재력이 솔리톤 코어를 생성함으로써 쿠스 문제를 해결하고, 상수 비선형성 항이 등온 허브를 생성함으로써 평탄한 회전곡선을 설명함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스케일 상대성 이론에 기반한 일반화된 슈뢰딩거 방정식을 통해 암흑물질 허브의 코어-허브 구조를 유도할 수 있는가?
• RQ2 슈뢰딩거 방정식에 상수 비선형성과 감쇠항을 포함함으로써 관측된 평탄한 회전곡선과 등온 코어를 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ3 효과적 계수 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s의 물리적 기원은 무엇이며, 양자역학 또는 고전 통계역학과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 초경량 암흑물질 입자나 은하간 상호작용의 피드백을 도입하지 않고도 CDM 모델의 소규모 문제, 예를 들어 쿠스-코어 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ5 이 모델에 열역학적 유사성이 존재하는가? 그리고 H-정리는 평형 상태로의 수렴을 보장하는가?

주요 결과

• 스케일 상대성 이론에서 유도된 일반화된 슈뢰딩거 방정식은 암흑물질 허브의 코어-허브 구조를 성공적으로 재현하며, 쿠스 문제를 해결하는 솔리톤 코어를 포함한다.
• 방정식의 상수 비선형성 항은 등온 허브 성분을 생성하여 나선은하에서 관측된 평탄한 회전곡선을 설명한다.
• 감쇠항은 H-정리를 통해 시스템이 평형 상태로 수렴함을 보장하며, 보일츠만 유사 자유 에너지 함수가 수렴 과정을 지배한다.
• 효과적 계수 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s는 이론에서 유도되었으며, 입자 질량이나 플랑크 상수와 무관하게 관측 제약 조건과 일치한다.
• 이 모델은 암흑물질 입자가 초경량이거나 양자역학적일 필요가 없음을 보여주며, 대신 물결 모양의 행동을 분수적 시공간의 구조나 장기적인 난류 운동에서 기인한다고 설명한다.
• 관계 𝒟 = kBT/(mξ)는 일반화된 아인슈타인 관계를 시사하며, 효과적 확산 계수 𝒟가 온도 T와 마찰 계수 ξ와 연결됨을 보여주며, 온도는 암흑물질이 페르미온일 경우를 제외하고는 순수하게 효과적인 값이다.