[논문 리뷰] Derivation of a two-phase flow model with two-scale kinematics, geometric variables and surface tension using variational calculus

Pierre Cordesse, Samuel Kokh외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 31.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변분법을 사용하여 두 상류 모델을 유도하며, 체적 분율, 계면적 면적 밀도, 평균 곡률과 같은 기하 변수들을 통해 대규모 계면 역학과 소규모 운동 및 표면장력 효과를 동시에 캡처한다. 두 상의 표면장력과 비구형, 다분산성 기포를 포함하도록 최소 작용 원리를 확장함으로써, 구형 대칭을 가정하지 않고도 복잡한 두 상류에 대한 통합적이고 기하학적으로 일관된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The present paper proposes a two-phase flow model that is able to account for two-scale kinematics and two-scale surface tension effects based on geometric variables at small scale. At large scale, the flow and the full geometry of the interface may be retrieved thanks to the bulk variables, while at small scale the interface is accurately described by volume fraction, interfacial area density and mean curvature, called the geometric variables. Our work mainly relies on the Least Action Principle. The resulting system is an extension of a previous work modeling small scale pulsation in which surface tension was not taken into account at large or small scale. Whereas the original derivation assumes a cloud of monodispersed spherical bubbles, the present context allows for polydispersed, non-spherical bubbles. The resulting system of equations solely involves small scale geometric variables, thus contributing in the construction of a unified model describing both large and small scales.

연구 동기 및 목표

• 대규모 계면 역학과 소규모 기하 효과를 동시에 캡처하는 통합적 오일러 기반 두 상류 모델을 개발하는 것.
• 이전 모델을 확장하여 소규모 스케일뿐만 아니라 대규모 스케일에서도 표면장력 효과를 포함하는 것.
• 단일 분산 구형 기포를 가정하는 대신 다분산 비구형 기포를 고려하는 것.
• 소규모 스케일의 유일한 기술자로 체적 분율, 계면적 면적 밀도, 평균 곡률을 사용하여 이중 스케일 시스템의 닫힘을 가능하게 하는 것.
• 최소 작용 원리를 통해 열역학적 일관성과 보존 법칙을 보장하는 일관된 운동 방정식 집합을 유도하는 것.

제안 방법

• 대규모 및 소규모 스케일에서의 운동 에너지, 내부 에너지 및 표면 에너지 기여를 포함하는 라그랑지안 에너지 함수를 수립한다.
• 행동 함수에 대한 상태 변수 및 그 공간적·시간적 도함수의 변분을 통해 최소 작용 원리를 적용하여 운동 방정식을 유도한다.
• 소규모 기하 구조(구형과 미분형상인 기체 포함)를 계면적 면적 밀도와 평균 곡률과 연결하기 위해 와일의 튜브 공식을 사용한다.
• 대규모 계면 위치는 체적 분율 기울기를 통해 기록하고, 소규모 계면 특성은 Σ(계면적 면적 밀도)와 H(평균 곡률)로 기술하는 이중 스케일 매개변수화를 도입한다.
• 기하 변수의 진화에 제약 조건을 도입하며, α, Σ, h(법선 이동)에 대한 운반 방정식을 통해 계면 운동학과의 일관성을 확보한다.
• 유동 지도 및 기하 변수에 대한 행동의 변분을 계산하여 운동 방정식을 유도함으로써 동역학, 질량 및 기하 진화 방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 상류 시스템에서 표면장력 효과를 대규모 및 소규모 스케일에서 일관되게 모델링할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 다분산 비구형 기포류에서 소규모 계면 형태를 기술하는 데 필요한 기하 변수는 무엇이며, 그것이 충분한가?
• RQ3 최소 작용 원리를 어떻게 확장하여 이중 스케일 운동 및 표면장력 효과를 변분 프레임워크에 포함시킬 수 있는가?
• RQ4 소규모 계면 기술에서 체적 분율, 계면적 면적 밀도, 평균 곡률 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 단일의 통합 모델이 구형 대칭을 가정하지 않고도 대규모 계면 운동과 소규모 진동 효과(표면장력 포함)를 동시에 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 모델은 체적 분율, 계면적 면적 밀도, 평균 곡률과 같은 소규모 기하 변수만을 사용하여 표면장력 효과를 대규모 및 소규모 스케일에서 일관되게 기술하는 최초의 모델이다.
• 이전 연구를 확장하여 단일 분산 구형 기포를 가정하는 것을 제거함으로써, 다분산 비구형 기포의 기술이 가능해졌다.
• 운동 방정식은 최소 작용 원리를 통해 유도되어 열역학적 일관성과 질량, 운동량, 에너지의 보존 법칙을 보장한다.
• 와일의 튜브 공식에서 도출된 기하 제약 조건을 통해 계면적 면적 밀도 Σ, 평균 곡률 H, 체적 분율 α 간의 관계가 유지된다.
• 소규모 기하 변수에만 의존하는 닫힌 방정식계를 제공하여, 스케일을 초월한 두 상류의 통합적 기술이 가능해졌다.
• 유도 과정은 스프레이 형성 및 분해와 같이 대규모 계면 변형과 소규모 표면장력 효과가 모두 중요한 복잡한 두 상류 모델의 향후 변분 기반 기초를 마련한다.