[논문 리뷰] Derivation of Darcy's law in randomly punctured domains

Arianna Giunti|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 세 차원 영역에서 중심과 반경이 랜덤인 구형 구멍으로 뚫린 영역에서 스토크스 방정식과 포아송 방정식에 대해 다르시의 법칙을 유도한다. 구멍 반경에 대해 최소한의 적분 조건을 만족할 경우, 구멍 크기가 $\varepsilon^\alpha$로 스케일링되는 동안, 호모지네이션 극한에서 해가 다르시의 법칙으로 수렴함을 증명한다. 이는 구멍이 응집되거나 겹치는 경우에도 성립하며, 효과적인 거시적 거동이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the homogenization of a Poisson problem or a Stokes system in a randomly punctured domain with Dirichlet boundary conditions. We assume that the holes are spherical and have random centres and radii. We impose that the average distance between the balls is of size $\eps$ and their average radius is $\varepsilon^α$, $α\in (1; 3)$. We prove that, as in the periodic case [G. Allaire, ``Homogenization of the Navier-Stokes equations in domains perforated with tiny holes. II''], the solutions converge to the solution of Darcy's law (or its scalar analogue in the case of Poisson). In the same spirit of [A. Giunti, R. Höfer and J. Velázquez, ``Homogenization of the Poisson equation in randomly perforated domains under minimal assumptions on the size of the holes''], we work under minimal conditions on the integrability of the random radii. These ensure that the problem is well-defined but do not rule out the onset of clusters of holes.

연구 동기 및 목표

• 랜덤으로 분 布된 구형 구멍으로 뚫린 유계 영역에서 스토크스 방정식과 포아송 방정식의 호모지네이션 극한을 확립하기 위해.
• 구멍의 평균 반경이 $\varepsilon^\alpha$로 스케일링될 때, $\alpha \in (1,3)$인 경우에 효과적인 거시적 거동을 분석하기 위해.
• 최소한의 적분 조건을 가진 랜덤 반경에 대해 다르시의 법칙(또는 그 스칼라 형태)으로의 수렴을 증명하기 위해, 구멍 간 최소 거리 조건이 필요로 하지 않도록 하기 위해.
• 구멍이 겹치거나 응집할 수 있는 경우를 다루며, 작은 $\varepsilon$에 대해 문제의 해가 거의 확실히 잘 정의되어 있음을 보장하기 위해.
• 이전의 주기적 뚫린 영역 결과를 랜덤 뚫린 영역으로 확장하기 위해, 포아송 점 프로세스를 사용한 확률적 및 스토크라스틱 호모지네이션 기법을 적용하기 위해.

제안 방법

• Poisson 점 프로세스 $\Phi$를 중심으로 하여, 반경이 $\varepsilon^\alpha \rho_z$인 구의 합집합인 $H^\varepsilon$를 정의하고, 뚫린 영역 $D^\varepsilon = D \setminus H^\varepsilon$를 구성한다.
• 구멍 경계에서의 딜리클레 경계 조건을 도입하여, 슬립 없음 또는 해가 0이 되는 조건을 모델링한다.
• 구멍 응집을 제어하기 위해, $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$ 및 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$ ($\beta > 0$)와 같은 모멘트 조건을 도입한다.
• 희귀 사건(예: 밀집한 구멍 군집)의 확률을 제어하기 위해, 스토크라스틱 호모지네이션 기법, Borel-Cantelli 추론 및 체이닝 추정을 적용한다.
• 외부 영역 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$에서 해를 구하는 보정자 문제를 통해, 스케일링된 해가 다르시의 법칙으로 수렴함을 확립한다. 효과적 계수는 용량 극한을 통해 유도된다.
• 측도 근사 보조정리(보조정리 5.1)를 사용하여, 구멍과 관련된 표면 측도의 $H^{-1}$-노름을 제어함으로써, 약한 정규성 조건 하에서도 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 반경에 대해 최소한의 모멘트 조건이 무엇일 때, 무작위로 뚫린 영역에서 포아송 또는 스토크스 시스템의 호모지네이션은 다르시의 법칙으로 수렴하는가?
• RQ2 구멍이 주기적으로 분포하지 않고 겹치거나 응집할 수 있을 경우, 효과적인 거동은 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ3 스케일링 $\varepsilon^\alpha$에서 $\alpha \in (1,3)$이 수렴 속도와 효과적 방정식의 성격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 무작위 설정에서 조화 및 스토크스 용량은 거시적 거동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 구멍이 무작위로 분포할 경우, 주기적 세포가 아닌 외부 영역 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$에서 보정자 문제를 어떻게 설정할 수 있는가?

주요 결과

• $\alpha \in (1,3)$일 때, $D^\varepsilon$에서의 포아송 및 스토크스 문제의 해는 $\varepsilon^{-3+\alpha}$로 스케일링된 후, 다르시의 법칙 또는 그 스칼라 형태의 해로 수렴한다.
• 다르시의 법칙에서 효과적 계수 $k$ 또는 $K$는 주기적 세포가 아닌 외부 영역 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$에서 해를 구하는 보정자 문제로부터 유도된다.
• 최소한의 모멘트 조건 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$는 구멍이 겹쳐져도 작은 $\varepsilon$에 대해 $D^\varepsilon$가 거의 확실히 비어 있지 않음을 보장한다.
• $\beta > 0$에 대해 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$ 조건은 스토크스 시스템에 충분하며, Borel-Cantelli 추론을 통해 군집 사건을 제어할 수 있다.
• 스케일 $\varepsilon^{1-k\kappa}$에서 겹치는 구멍의 사슬이 존재할 확률은 $\varepsilon^{\alpha\beta/2}$로 감소하므로, Borel-Cantelli 추론을 통해 거의 확실한 수렴이 가능하다.
• 모멘트 조건이 충족된다면, 구멍이 응집되거나 겹쳐져도 수렴이 유지되며, 이는 이전의 주기적 설정에서의 결과를 랜덤 설정으로 확장한 것이다.