[논문 리뷰] Derivation of Generalized Equations for the Predictive Value of Sequential Screening Tests

Jacques Balayla|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 26.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다양한 민감도, 특이도 및 사전 확률를 고려하여 순차적이고 직교적인 걸러내기 검사의 양성 예측도와 음성 예측도를 계산하기 위한 일반화된 베이지안 방정식을 유도한다. 이는 결과가 상충되는 경우를 포함한 검사 순서의 영향을 수학적으로 모델링함으로써, 특히 유병률이 낮은 환경에서 반복적이거나 병합된 검사가 예측 정확도를 크게 향상시킨다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Using Bayes' Theorem, we derive generalized equations to determine the positive and negative predictive value of screening tests undertaken sequentially. Where a is the sensitivity, b is the specificity, $ϕ$ is the pre-test probability, the combined positive predictive value, $ρ(ϕ)$, of $n$ serial positive tests, is described by: $ρ(ϕ) = \frac{ϕ\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_n}{ϕ\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_n+(1-ϕ)\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(1-b_n)}$ If the positive serial iteration is interrupted at term position $n_i-k$ by a conflicting negative result, then the resulting negative predictive value is given by: $ψ(ϕ) = \frac{[(1-ϕ)b_{n-}]\displaystyle\prod_{i=b_{1+}}^{b_{(n-1)+}}(1-b_{n+})}{[ϕ(1-a_{n-})]\displaystyle\prod_{i=a_{1+}}^{a_{(n-1)+}}a_{n+}+[(1-ϕ)b_{n-}]\displaystyle\prod_{i=b_{1+}}^{b_{(n-1)+}}(1-b_{n+})}$ Finally, if the negative serial iteration is interrupted at term position $n_i-k$ by a conflicting positive result, then the resulting positive predictive value is given by: $λ(ϕ)= \frac{ϕa_{n+}\displaystyle\prod_{i=a_{1-}}^{a_{(n-1)-}}(1-a_{n-})}{ϕa_{n+}\displaystyle\prod_{i=a_{1-}}^{a_{(n-1)-}}(1-a_{n-})+[(1-ϕ)(1-b_{n+})]\displaystyle\prod_{i=b_{1-}}^{b_{(n-1)-}}b_{n-}}$ The aforementioned equations provide a measure of the predictive value in different possible scenarios in which serial testing is undertaken. Their clinical utility is best observed in conditions with low pre-test probability where single tests are insufficient to achieve clinically significant predictive values and likewise, in clinical scenarios with a high pre-test probability where confirmation of disease status is critical.

연구 동기 및 목표

• 다양한 민감도, 특이도 및 사전 확률 조건 하에서 순차적 걸러내기 검사의 예측도를 계산하는 일반화된 수학적 방정식을 개발하는 것.
• 양성 예측도(PPV)가 급격히 감소하는 저유병률 조건에서 단일 검사 걸러내기의 한계를 해결하는 것.
• 예를 들어 음성 검사 후 양성 검사 결과가 나타나는 등 결과가 상충되는 경우를 포함한 순차적 검사가 중단되는 시나리오를 모델링하고, 그 결과로 나타나는 예측도를 유도하는 것.
• 단일 검사 성능을 초월하여 진단의 확신을 높이기 위해 다수의 독립적인 검사를 순차적으로 사용하는 직교적 검사의 공식적 프레임워크를 제공하는 것.
• 예측도 곡선의 기하학적 분할을 정량화하고, PPV와 NPV 곡선이 만나는 점인 유병률 임계값을 식별하여 최적의 검사 전략 선택을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• n개의 연속된 양성 검사 결과에 대한 통합 양성 예측도(PPV)를 유도하기 위해 베이즈 정리 사용: $\rho(\phi) = \frac{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i}{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i + (1-\phi) \prod_{i=1}^{n} (1-b_i)}$.
• 연속된 음성 결과 시퀀스가 양성 검사 결과에 의해 중단될 경우의 음성 예측도(NPV) 유도: $\psi(\phi) = \frac{[(1-\phi)b_{n-}]\prod_{i=1}^{n-1}(1-b_i)}{[\phi(1-a_{n-})]\prod_{i=1}^{n-1}a_i + [(1-\phi)b_{n-}]\prod_{i=1}^{n-1}(1-b_i)}$.
• 연속된 양성 결과 시퀀스가 음성 검사 결과에 의해 중단될 경우의 양성 예측도(PPV) 유도: $\lambda(\phi) = \frac{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i)}{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i) + (1-\phi)(1-b_{n+}) \prod_{i=1}^{n-1}b_i}$.
• 정적 적분을 사용하여 예측도 곡선의 기하학적 분할 개념을 도입하여 네트워크 진단 잠재력(NDP)과 양성 진단 잠재력(PDP)을 정량화하는 데 사용.
• 표준 PPV 및 NPV 공식을 동일시하는 조건에서 PPV와 NPV 곡선의 교차점 $\phi_i$를 유도하기 위해 방정식을 풀어 이차 방정식 해를 도출: $\phi_i = \frac{-b^2 + b - \sqrt{ab(ab - a + 1 - b)}}{a^2 - b^2 - a + b}$.
• 민감도와 특이도가 동일한 경우 분모가 0이 되는 특수한 경우를 다루기 위해 특이도를 약간 변화시켜($b \Rightarrow b + db$) 분모가 0이 되는 것을 방지하고 안정적인 $\phi_i$ 추정치를 확보하는 방법 제안.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 민감도와 특이도를 가진 다수의 독립적인 걸러내기 검사를 순차적으로 적용할 경우, 결과가 불일치할 때 양성 예측도를 어떻게 수학적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 연속된 음성 검사 결과 시퀀스가 단일 양성 검사 결과에 의해 중단될 경우의 예측도는 무엇이며, 이는 검사 특성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 양성 예측도 곡선과 음성 예측도 곡선이 만나는 사전 확률는 언제이며, 이 교차점의 의미는 무엇인가?
• RQ4 저유병률 조건에서 단일 검사가 신뢰할 수 없을 경우, 순차적 또는 직교적 검사가 진단의 확신을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 예측도 곡선의 기하학적 분할은 무엇이며, 적분을 사용하여 이를 어떻게 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• n개의 연속된 양성 검사 결과에 대한 통합 양성 예측도는 $\rho(\phi) = \frac{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i}{\phi \prod_{i=1}^{n} a_i + (1-\phi) \prod_{i=1}^{n} (1-b_i)}$로 주어지며, 양성 검사 수가 증가할수록 증가한다.
• 연속된 음성 검사 결과 시퀀스가 양성 결과에 의해 중단될 경우의 양성 예측도는 $\lambda(\phi) = \frac{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i)}{\phi a_{n+} \prod_{i=1}^{n-1}(1-a_i) + (1-\phi)(1-b_{n+}) \prod_{i=1}^{n-1}b_i}$로 주어지며, 이는 이전의 음성 검사의 수와 성능에 따라 달라진다.
• PPV와 NPV 곡선의 교차점 $\phi_i$는 표준 PPV 및 NPV 공식을 동일시하는 조건에서 유도된 이차 방정식을 풀어 결정되며, 그 결과 $\phi_i = \frac{-b^2 + b - \sqrt{ab(ab - a + 1 - b)}}{a^2 - b^2 - a + b}$가 된다.
• 저유병률 환경에서는 단일 검사가 신뢰할 수 없지만, 순차적 검사를 통해 양성 예측도를 크게 향상시킬 수 있으며, 이는 민감도와 특이도가 중간 수준이어도 가능하다.
• 네트워크 진단 잠재력(NDP)과 양성 진단 잠재력(PDP)은 정적 적분을 사용하여 정량화된다: $NDP = \int_0^{\phi_i} \sigma(\phi) d\phi - \int_0^{\phi_i} \rho(\phi) d\phi$ 및 $PDP = \int_{\phi_i}^1 \rho(\phi) d\phi - \int_{\phi_i}^1 \sigma(\phi) d\phi$로, 이는 진단 유용성에 대한 기하학적 측도를 제공한다.
• 민감도와 특이도가 동일한 경우 교차점 공식의 분모가 0이 되므로, 이 문제를 해결하기 위해 특이도를 약간 변화시켜($b \Rightarrow b + db$) 안정적인 $\phi_i$ 추정치를 확보한다.