[논문 리뷰] Derivation of the stochastic Burgers equation with Dirichlet boundary conditions from the WASEP

Patrícia Gonçalves, Nicolas Perkowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 30.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 49인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 유한 구간에서 양끝에 저장소를 갖는 약간 비대칭적인 단순 배제 과정(WASEP)으로부터 도출된 경계 조건이 딜리클레 조건인 확률적 버거스 방정식을 유도한다. 확산 스케일링과 크기 $1/\sqrt{n}$의 약간의 비대칭성 하에서, 밀도 변동은 에너지 해로 수렴하며, 이는 고유하게 식별되며 콜-호프 해와는 다릅니다.

ABSTRACT

We consider the weakly asymmetric simple exclusion process on the discrete space $\\{1,...,n-1\\}$, in contact with stochastic reservoirs, both with density $\ ho\\in{(0,1)}$ at the extremity points, and starting from the invariant state, namely the Bernoulli product measure of parameter $\ ho$. Under time diffusive scaling $tn^2$ and for $\ ho=\\frac12$, when the asymmetry parameter is taken of order $1/ \\sqrt n$, we prove that the density fluctuations at stationarity are macroscopically governed by the energy solution of the stochastic Burgers equation with Dirichlet boundary conditions, which is shown to be unique and different from the Cole-Hopf solution.

연구 동기 및 목표

• 확산 스케일링 하에서 개방 경계 조건을 갖는 약간 비대칭적인 단순 배제 과정(WASEP)의 거시적 수소역학적 극한을 확립하기 위해.
• 약간 비대칭적 영역에서 정적 상태에서의 밀도 변동을 지배하는 극한 방정식을 규명하기 위해.
• 디리클레 경계 조건을 갖는 확률적 버거스 방정식의 에너지 해의 유일성을 증명하기 위해.
• 에너지 해가 다른 스케일링 극한에서 나타나는 콜-호프 해와 어떻게 다름을 밝히기 위해.
• 비선형 SPDE를 미시적 동역학으로부터 도출하는 데 핵심 도구가 되는 두 번째 차수 볼츠만-지브스 원리의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 현재 장의 비선형성을 제어하고 확률적 버거스 방정식을 도출하기 위해 두 번째 차수 볼츠만-지브스 원리(BGP)의 사용.
• 동역학을 선형화하기 위해 현재 장 수준에서 미시적 콜-호프 변환을 적용.
• 시간 확산 스케일링 $tn^2$ 하에서의 밀도 변동 장과 관련된 마틴갈 문제 분석.
• 경계 조건의 유도를 위해 끝점에서의 현재의 점근적 분석을 통해 딜리클레 유형의 항으로 수렴함을 보임.
• 긴장도 및 수렴 보장을 위해 마틴갈 성분의 지수적 모멘트와 이차 변동을 제어.
• 클래식한 수식의 정의가 불완전한 문제를 피하기 위해 에너지 해 개념을 사용하여 확률적 버거스 방정식의 해를 정의하고 특성화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방 경계 조건을 갖는 WASEP의 밀도 변동 장이 확산 스케일링과 약간의 비대칭성 하에서 확률적 버거스 방정식의 해로 수렴하는가?
• RQ2 거시적 극한에서 어떤 경계 조건이 나타나며, 로빈 조건이나 주기적 조건과 어떻게 다를까?
• RQ3 극한 해는 고유한가? 그리고 KPZ 맥락에서 알려진 콜-호프 해와의 관계는 무엇인가?
• RQ4 두 번째 차수 볼츠만-지브스 원리는 미시적 동역학으로부터 확률적 버거스 방정식의 비선형 항을 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 비대칭성 파라미터 $\alpha_n \sim 1/\sqrt{n}$는 거시적 방정식을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 확산 스케일링 $t n^2$ 과 비대칭성 $\alpha_n \sim 1/\sqrt{n}$ 하에서, 밀도 변동 장은 딜리클레 경계 조건을 갖는 확률적 버거스 방정식의 에너지 해로 수렴한다.
• 극한 해는 고유하며, 다른 스케일링 영역에서 나타나는 콜-호프 해와 다름을 보였다.
• 극한에서의 경계 조건은 딜리클레 조건이며, 구체적으로 저장소 밀도 $\rho = 1/2$ 와 약간의 비대칭성 스케일링에 기인한다.
• 두 번째 차수 볼츠만-지브스 원리는 미시적 동역학으로부터 거시적 방정식의 비선형 항 $\nabla({\mathcal{Y}}^2)$ 가 나타나도록 가능하게 한다.
• 현재 장의 마틴갈 성분은 이차 변동이 $\frac{E^2 t}{2} \int_0^1 |\Phi_s(u)|^2 \varphi^2(u) du$ 로 수렴하며, 이는 SPDE의 구조와 일치한다.
• 긴장도와 마틴갈 문제의 해를 통해 현재 장의 수렴이 확립되었으며, 주어진 스케일링 하에서 경계 항은 극한에서 사라진다.