[논문 리뷰] Derivation of the Time Dependent Gross Pitaevskii Equation with External Fields

Peter Pickl|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 27.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 7인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 BBGKY 계층을 피하는 새로운 방법을 사용하여 외부 필드가 존재하는 경우의 시간에 따라 변하는 Gross-Pitaevskii 방정식을 유도하며, N체 슈뢰딩거 동역학이 비선형 평균장 방정식으로 수렴하는 것을 확립한다. 이 방법은 산란 상태를 통해 미세 구조 상관관계를 제어하고, 상호작용이 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 형태로 스케일링될 때 $\mu > 2$인 경우에 대해 시간에 관계없이 균일한 수렴을 증명한다. 이는 이전 결과를 일반적인 외부 퍼텐셜과 부드러운 상호작용으로 확장한다.

ABSTRACT

Using a new method [9] it is possible to derive mean field equations from the microscopic N-body Schrodinger evolution of interacting particles without using BBGKY hierarchies. Recently this method was used to derive the Hartree equation for singular interactions [4] and the Gross Pitaevskii equation without positivity condition on the interaction [10] where one had to restrict the scaling behaviour of the interaction. In this paper more general scalings shall be considered assuming positivity of the interaction.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 외부 퍼텐셜 하에서 보스-아인슈타인 응축체에 대한 시간에 따라 변하는 Gross-Pitaevskii 방정식을 유도하는 것.
• N체 슈뢰딩거 동역학이 비선형 평균장 방정식으로 시간에 관계없이 수렴하는 것을 확립하는 것.
• 이전 결과를 일반화하기 위해 상호작용이 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 형태로 스케일링되는 경우를 允허하는 것 ($\mu > 2$), 이때 산란 길이는 $N^{-1}$ 순서를 유지한다.
• 산란 길이가 0인 상태를 사용하여 $\beta = 1$일 때 파동함수의 미세 구조 상관관계를 제어하는 것.
• 전통적인 BBGKY 계층을 피하는 기능 기반 접근법을 개발하여 수렴 속도의 상한을 구하는 것.

제안 방법

• N체 파동함수 $\Psi_t$ 와 응축 상태 $\phi_t$ 사이의 거리를 추적하기 위해 새로운 기능 $\Gamma(\Psi, \phi)$ 를 도입한다.
• 입자 상관관계와 외부 필드로 인한 오차 항을 제어하기 위해 기능계 $\gamma_{j,k}$ 와 $\gamma'_{j,k}$ 를 사용한다.
• 비국소적 상호작용 항을 상한화하기 위해 $x_2$-적분 하에서 허더 및 소볼레프 부등식을 적용한다.
• $\beta = 1$일 때 산란 길이 근사법을 적용하며, 이 경우 상호작용 퍼텐셜이 산란 상태가 $f^1_1(Nx)$ 형태로 스케일링되도록 조정된다.
• $\phi_t$ 에 대한 붕괴 조건 하에서 $\Gamma(\Psi_t, \phi_t)$ 에 대해 그로나발 유형 추정을 적용하여 시간에 관계없이 수렴을 증명한다.
• 특히 $\beta = 1$일 때 $\alpha'$ 항을 제어하기 위해 기능을 반복적으로 조정하며, $\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$ 와 $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ 의 상한을 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BBGKY 계층에 의존하지 않고 일반적인 외부 퍼텐셜 하에서 시간에 따라 변하는 Gross-Pitaevskii 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 부드러운 상호작용이 $\beta = 1$ 인 경우에 N체 파동함수가 응축 상태로 수렴하는 방식이 시간에 관계없이 어떻게 행동하는가?
• RQ3 시간에 따라 증가하는 결합 상수 $N^\mu$ ($\mu > 2$) 는 Gross-Pitaevskii 근사에서 효과적인 평균장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 상호작용이 특이해지거나 부드러워지면 ($\beta = 1$ 또는 $\beta < 1$) N체 파동함수의 미세 구조 상관관계를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ5 응축 상태 파동함수 $\phi_t$ 에 대해 적절한 붕괴 조건이 만족될 때, 수렴 속도가 시간에 관계없이 균일하게 상한을 가질 수 있는가?

주요 결과

• $\beta = 1$ 이고 상호작용이 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ 인 경우, 효과적인 평균장은 $2a|\phi_t|^2$ 가 되며, 여기서 $a$ 는 $V$ 의 산란 길이이다.
• 시간에 관계없이 수렴하는 것을 증명하기 위해 $\phi_t$ 에 대한 붕괴 조건 하에서, $N \to \infty$ 일 때 1체 축소 밀도 행렬이 $|\phi_t\rangle\langle\phi_t|$ 로 수렴한다. 이 수렴은 연산자 노름에서 이루어진다.
• 수렴 속도는 $\Gamma(\Psi_t, \phi_t) \leq e^{\int_0^t (\|\phi_s\|_\infty + (\ln N)^{1/3}\|\nabla\phi_s\|_{6,\text{loc}} + \|\dot{A}_s\|_\infty) K(\phi_s) ds} (\Gamma(\Psi_0, \phi_0) + N^{-\eta})$ 로 상한이 둔다. 이는 균일한 제어를 보장한다.
• $\beta = 1$ 일 때, $\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$ 는 $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ 의 정밀한 추정을 통해 제어되며, $\alpha'_2$ 를 제어할 수 있도록 두 번째 조정을 시행한다.
• 기능 $\Gamma$ 는 $c\alpha(\Psi, \phi) - CN^{-\eta} \leq \Gamma(\Psi, \phi) \leq \alpha(\Psi, \phi) + CN^{-\eta}$ 를 만족하여 엄밀한 오차 제어를 가능하게 한다.
• 이 방법은 $0 < \beta < 1$ 과 $\beta = 1$ 으로 일반화 가능하며, $\beta < 1$ 인 경우 평균장은 $\|V\|_1 |\phi_t|^2$ 로 주어지며, 이는 1차 보른 근사와 일치한다.