[논문 리뷰] Derivations for the even parts of modular Lie superalgebras $W$ and $S$ of Cartan type

Wende Liu, Yongzheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2005. 07. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p > 3$인 체 위에서 카르탕 유형의 모듈라 리 초대수 $W$ 및 $S$의 짝수 부분 $Ω$ 및 $Σ$의 유도 대수 및 외부 유도 대수를 결정한다. 표준 토리와 군집 구조를 사용하여, 외부 유도 대수가 명시적인 차원 공식을 가진 아벨 또는 메타아벨임을 증명하며, $S$의 경우 짝수 부분의 외부 유도 대수가 외부 초유도 대수와 정확히 일치함이 $n$ 이 짝수일 때에만 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be the underlying base field of characteristic $p>3 $ and denote by $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}$ the even parts of the finite-dimensional generalized Witt Lie superalgebra $W$ and the special Lie superalgebra $S,$ respectively. We first give the generator sets of the Lie algebras $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Using certain properties of the canonical tori of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S},$ we then determine the derivation algebra of $\mathcal{W}$ and the derivation space of $\mathcal{S} $ to $\mathcal{W},$ where $\mathcal{W}$ is viewed as $\mathcal{S} $-module by means of the adjoint representation. As a result, we describe explicitly the derivation algebra of $\mathcal{S}.$ Furthermore, we prove that the outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S} $ are abelian Lie algebras or metabelian Lie algebras with explicit structure. In particular, we give the dimension formulae of the derivation algebras and outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Thus we may make a comparison between the even parts of the (outer) superderivation algebras of $W$ and $S$ and the (outer) derivation algebras of the even parts of $W$ and $S,$ respectively.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 윌트 리 초대수 $W(m,n;\underline{t})$의 짝수 부분 $\mathcal{W}$의 유도 대수를 결정하는 것.
• $\mathcal{W}$ 가 $\mathcal{S}$ 에서의 수반 표현을 통해 작용하는 바에 따라 $\mathcal{S}$ 에서 $\mathcal{W}$ 로의 유도 공간을 계산하는 것.
• 특수 리 초대수 $S(m,n;\underline{t})$ 의 짝수 부분 $\mathcal{S}$ 의 전체 유도 대수를 기술하는 것.
• $\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{S}$ 의 외부 유도 대수의 구조를 분류하여, 이들이 아벨 또는 메타아벨임을 보여주는 것.
• 외부 초유도 대수 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ 와 그 짝수 부분 $\mathcal{S}$ 의 외부 유도 대수 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 를 비교하여, 이들이 일치하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{S}$ 의 생성자 집합을 사용하여, 그들의 $\mathbb{Z}$-중량 구조와 상위 성분 $\mathcal{L}_{-1} \oplus \mathcal{L}_0$ 이 유도를 제어하는 역할을 분석한다.
• $\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{S}$ 에서의 표준 토리 성질을 적용하여, 내부 유도를 모odulo한 유도를 $\mathcal{L}_{-1}$ 에서 영이 되는 것으로 줄인다.
• 발산 사상 $\mathrm{div}: \mathcal{W} \to \mathrm{div}(\mathcal{W})$ 를 사용하여, $\ker(\mathrm{div}|_{\mathcal{W}})$ 가 $\overline{\mathcal{S}}$ 로서 $\mathcal{S}$ 의 코어임을 식별한다.
• 명시적인 부분대수 $\mathfrak{P}$ 와 $\mathcal{J}$ 를 구성하고, 아벨 리 대수 $V$ 에서의 반단순 자기형사 $A$ 를 사용하여, $n$ 이 짝수일 때 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 의 메타아벨 구조를 구축한다.
• $\widetilde{\mathcal{S}} \cong \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$ 와 같은 동형사상들을 사용하여, 유도 대수를 분해하고 차원을 계산한다.
• [8] 에서의 초유도 대수 결과를 적용하여, $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ 와 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 를 비교하여 이들이 동형이 되는 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $W(m,n;\underline{t})$ 의 일반화된 윌트 리 초대수의 짝수 부분 $\mathcal{W}$ 에 대한 유도 대수 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ 의 구조는 무엇인가요?
• RQ2 $\mathcal{S}$ 에서 $\mathcal{W}$ 로의 유도 공간 $\mathrm{Der}(\mathcal{S}, \mathcal{W})$ 는 $\mathcal{S}$ 가 $\mathcal{W}$ 에서 수반 표현을 통해 작용하는 것과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 특수 리 초대수 $S(m,n;\underline{t})$ 의 짝수 부분 $\mathcal{S}$ 의 유도 대수 $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ 의 명시적 구조는 무엇인가요?
• RQ4 $\mathcal{S}$ 의 외부 유도 대수가 외부 초유도 대수 $S$ 와 일치하는 조건은 무엇인가요?
• RQ5 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$, $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$, $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$, $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 의 차원 공식은 무엇인가요?

주요 결과

• $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ 는 $\widetilde{\mathcal{W}}$ 와 동형이며, $n$ 이 짝수일 때 차원이 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$ 이고, $n$ 이 홀수일 때는 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ 이다.
• $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$ 는 $n$ 이 짝수일 때 아벨이며 차원이 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} - 1$ 이고, $n$ 이 홀수일 때는 $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ 이다.
• $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ 는 $\widetilde{\mathcal{S}} = \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$ 와 동형이며, $n$ 이 짝수일 때 $\dim_{\mathbb{F}}(\overline{\mathcal{S}}) = (m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$ 이고, $n$ 이 홀수일 때는 $(m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ 이다.
• $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 는 $n$ 이 홀수일 때 차원이 $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i - m$ 인 아벨이다.
• $n$ 이 짝수일 때, $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ 는 차원이 $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i$ 인 메타아벨 리 대수 $\mathcal{L}_{\mathcal{S}} = \mathbb{F} \cdot A \ltimes V$ 와 동형이며, 여기서 $V$ 는 차원 $\sum_{i\in Y_0} t_i$ 인 아벨 리 대수이고, $A$ 는 주어진 고유공간 차원을 가진 반단순 자기형사이다.
• 외부 초유도 대수 $S$ 는 $n$ 이 짝수일 때에만 $\mathcal{S}$ 의 외부 유도 대수와 일치하며, 이는 5.2.6번 참고문헌에서 보여진다.