[논문 리뷰] Derivative-based global sensitivity measures and their link with Sobol sensitivity indices

Sergei Kucherenko, Shufang Song|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 25.

Probabilistic and Robust Engineering Design인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 도함수 기반 전역 민감도 측정법(DGSM)과 소볼' 총 민감도 인덱스 사이의 이론적 연관성을 수립하며, DGSM이 $S_i^{ ext{tot}}$에 대해 계산 비용이 저렴한 하한 및 상한을 제공할 수 있음을 보여준다. 이 방법은 최소한의 계산 비용으로 빠른 변수 선별과 모델 단순화를 가능하게 하며, 알고리즘 미분을 활용한 몬테카를로 또는 준몬테카를로 적분을 통해 대부분의 경우 정확한 입력 변수 순위를 도출할 수 있다.

ABSTRACT

The variance-based method of Sobol sensitivity indices is very popular among practitioners due to its efficiency and easiness of interpretation. However, for high-dimensional models the direct application of this method can be very time consuming and prohibitively expensive to use. One of the alternative global sensitivity analysis methods known as the method of derivative based global sensitivity measures (DGSM) has recently become popular among practitioners. It has a link with the Morris screening method and Sobol sensitivity indices. DGSM are very easy to implement and evaluate numerically. The computational time required for numerical evaluation of DGSM is generally much lower than that for estimation of Sobol sensitivity indices. We present a survey of recent advances in DGSM and new results concerning new lower and upper bounds on the values of Sobol total sensitivity indices. Using these bounds it is possible in most cases to get a good practical estimation of the values of Sobol total sensitivity indices. Several examples are used to illustrate an application of DGSM.

연구 동기 및 목표

• 도함수 기반 전역 민감도 측정법(DGSM)을 사용하여 소볼' 총 민감도 인덱스($S_i^{\text{tot}}$)에 대해 계산 비용이 저렴한 하한 및 상한을 개발하기 위해
• 고차원 모델에 대한 분산 기반 전역 민감도 분석의 계산 부담을 줄이기 위해
• 직접 소볼' 인덱스 계산에 비해 훨씬 적은 함수 평가 횟수로 $S_i^{\text{tot}}$를 실용적으로 추정할 수 있도록 하기 위해
• DGSM 상한이 다양한 시험 함수에서 입력 변수의 순위를 정확히 정리하는 데 효과적인지 검증하기 위해
• 비중요 변수를 고정하여 모델 단순화에 DGSM를 활용할 수 있는지 보여주기 위해

제안 방법

• 도함수 기반 전역 민감도 측정법(DGSM)을 사용하여 $S_i^{\text{tot}}$의 하한 및 상한을 유도하며, 이는 편미분의 기대값의 절대값에 기반한다.
• 몬테카를로(MC) 또는 준몬테카를로(QMC) 적분을 사용하여 DGSM 및 그 상한을 수치적으로 추정한다.
• 역방향(어드조인트) 모드의 알고리즘 미분을 적용하여 함수 평가 비용의 4~6배로 편미분을 효율적으로 계산한다.
• DGSM과 소볼' 인덱스 사이의 이론적 연관성을 수립하며, DGSM이 $S_i^{\text{tot}}$에 대한 상한으로 기능함을 보여준다.
• 동일한 도함수 평가 집합을 사용하여 $S_i^{\text{tot}}$의 하한(LB1, LB2)과 상한(UB1, UB2)을 동시에 추정한다.
• 다양한 입력 분포를 가진 다항식, 곱함수, 하르트만 함수를 포함한 기준 시험 함수에서 상한을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DGSM는 직접 계산 비용을 크게 줄여가며 소볼' 총 민감도 인덱스에 대해 신뢰할 수 있는 하한 및 상한을 제공할 수 있는가?
• RQ2 진정한 $S_i^{\text{tot}}$ 값과 비교할 때 DGSM 기반 상한의 입력 변수 순위 정확도는 어떠한가?
• RQ3 DGSM를 사용하여 비중요 변수를 식별하고 고정하여 모델 단순화에 얼마나 효과적으로 활용할 수 있는가?
• RQ4 표본 수 측면에서 DGSM 상한의 수렴 행동은 직접 $S_i^{\text{tot}}$ 추정과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 선형, 곱함수, 비선형 함수와 같은 다양한 유형의 모델에서 상한의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 입력값이 $a = [0,1,4.5,9,99,99,99,99]$인 시험 함수에서 하한 LB2와 상한 UB1, UB2는 모든 입력 변수의 중요도 순서를 정확히 정리할 수 있다.
• 비율 $S_i^{\text{tot}} / \text{UB1} = \pi^2 / 48 \approx 0.204$ 이며 $S_i^{\text{tot}} / \text{UB2} = 0.25$ 이므로, UB2가 UB1보다 더 날카롭게(더 좁게) 나온다.
• 하르트만 함수에서는 대부분의 입력에서 LB1 < LB2 < $S_i$ 이지만, $x_2$의 경우 LB1 > $S_i$ > LB2로 나타나 상한의 행동이 변수에 따라 다름을 보인다.
• LB2의 수렴 속도는 $S_i^{\text{tot}}$와 UB1보다 빠르며, 동일한 표본 수에서 더 낮은 RMSE를 달성한다.
• 모든 상한을 계산하기 위해 $N_F^{\text{LB}*} = N(3d+1)$번의 함수 평가가 필요하지만, $S_i^{\text{tot}}$와 UB는 $N(d+1)$번으로 충분하여 고차원 문제에서는 상한 계산이 더 효율적이다.
• 작은 상한은 작은 $S_i^{\text{tot}}$를 의미하므로, 비중요 변수를 조기에 식별하여 모델 단순화에 활용할 수 있다.