[논문 리뷰] Derivatives of Eisenstein series and Faltings heights

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport외 1명|ArXiv.org|2001. 10. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 산술 슈비우 곡선 위의 히그너 사이클의 산술 높이와 반정수 스펙트럼의 에이젠스타이니 급수의 s = 1/2에서의 두 번째 도함수 사이의 정확한 연결 고리를 설정한다. 이는 함수방정식의 비중앙점에서 발생한다. 논문은 산술 높이의 생성함수가 SL2(Z)에 대해 스펙트럼 3/2인 에이젠스타이니 급수의 도함수와 일정한 이동을 포함하여 일치함을 증명하며, 이는 CM 아벨 양기수의 팔링스 높이를 통해 로랑 전개의 두 번째 항에 대한 새로운 기하학적 해석을 드러낸다.

ABSTRACT

We prove a relation between a generating series for the heights of Heegner cycles on the arithmetic surface associated to a Shimura curve and the second term in the Laurent expansion at s=1/2 of an Eisenstein series of weight 3/2 for SL(2). On the geometric side, a typical coefficient of the generating series involves the Faltings heights of abelian surfaces isogenous to a product of CM elliptic curves, an archimedean contribution, and contributions from vertical components in the fibers of bad reduction. On the analytic side, these terms arise via the derivatives of local Whittaker functions. It should be noted that s=1/2 is not the central point for the functional equation of the Eisenstein series in question. Moreover, the first term of the Laurent expansion at s=1/2 coincides with the generating function for the degrees of the Heegner cycles on the generic fiber, and, in particular, does not vanish.

연구 동기 및 목표

• 반정수 스펙트럼의 에이젠스타이니 급수의 로랑 전개에서 두 번째 항과 산술 슈비우 곡선 위의 히그너 사이클의 산술 높이 사이의 대응을 설정하는 것.
• 산술 높이의 생성함수가 함수방정식의 비중앙점인 s = 1/2에서 에이젠스타이니 급수의 도함수로부터 유도됨을 보여주는 것.
• s = 1/2에서 로랑 전개의 비영인 첫 번째 항을 CM 아벨 양기수의 팔링스 높이를 통해 기하학적으로 해석하는 것.
• 푸리에 계수와 산술 불변량 사이의 알려진 대응을, 로랑 전개의 첫 번째 항이 영이 아닌 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 산술 슈비우 곡선과 관련된 산술 표면 M 위에 대수적 사이클 Z(m)와 그린 함수 Ξ(m,v)를 조합하여 산술 차우 클래스 ˆZ(m,v)를 정의한다.
• M 위의 보편 아벨 양기수에서의 헬름로픽 1-형식을 이용하여 허드지 번들의 ω에 표준 메트릭 ||·||를 부여한다.
• 기릴레트–술레 높이 쌍함수를 통해 φheight(τ) = ∑⟨ˆZ(m,v), ˆω⟩qm의 높이 생성함수를 구성한다.
• SL2(Z)에 대해 스펙트럼 3/2인 에이젠스타이니 급수 E(τ,s;D)의 가중치를 D = D(B)로 하는 히브리드 대수 B의 판별식을 사용하여 가중치를 구성한다.
• s = 1/2에서 E(τ,s;D(B))의 로랑 전개를 계산하고, 두 번째 도함수 E′(τ,1/2;D(B))가 산술 높이의 생성함수임을 식별한다.
• 클래스 수, L-함수, 로그 항을 포함한 푸리에 계수의 직접 계산을 통해 주요 항등식 φheight(τ) = E′(τ,1/2;D(B)) + c를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반정수 스펙트럼의 에이젠스타이니 급수의 로랑 전개에서 s = 1/2에서 두 번째 항의 산술적 의미는 무엇인가? 이는 함수방정식의 비중앙점이다.
• RQ2 산술 슈비우 곡선 위의 히그너 사이클의 높이와 에이젠스타이니 급수의 푸리에 계수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 s = 1/2에서 에이젠스타이니 급수의 로랑 전개에서 비영인 첫 번째 항은 CM 아벨 양기수의 팔링스 높이를 통해 기하학적으로 해석할 수 있는가?
• RQ4 로랑 전개의 첫 번째 항이 영이 아닌 경우에도, 산술 슈비우 다양체의 산술 불변량과 에이젠스타이니 급수의 로랑 전개 사이에 일반적인 패턴이 존재하는가?

주요 결과

• 산술 슈비우 곡선 M 위의 히그너 사이클의 산술 높이 생성함수는 상수 이동을 제외하고는 에이젠스타이니 급수 E(τ,s;D(B))의 s = 1/2에서의 도함수와 같다.
• m > 0에 대해 E′(τ,1/2;D(B))의 qm 계수는 δ(d;D(B)), H0(m;D(B)), log(d), L′(1,χd)/L(1,χd), 그리고 D(B)를 나누거나 나누지 않는 소수에 대한 로그 항을 포함한 복잡한 표현식으로 주어진다.
• 계수 표현의 주요 항은 CM 타원곡선 Ed × Ed의 팔링스 높이와 일치하며, h∗Fal(Ed × Ed) = 1/2 log(d) + L′(1,χd)/L(1,χd) − 1/2 log(π) − 1/2γ로 주어진다.
• m < 0일 경우, 도함수의 qm 계수는 0이 아니며, r > 1에 대한 적분을 포함한다. 이는 함수 Ψℓ(s,z)를 통해 표현되며 높이 쌍함수에 기여한다.
• 정규화된 에이젠스타이니 급수에 대해 기능방정식 E(τ,s;D) = E(τ,−s;D)를 증명하며, 이는 L-함수의 기능방정식과 감마 함수의 배율 공식에 기반한다.
• E(τ,s;D)의 푸리에 전개의 상수항이 GD(s) + GD(−s)에 비례하며, GD(s)는 완비 L-함수와 D를 나누는 소수에서의 국소 인자들을 포함한다.