[논문 리뷰] Derivatives of Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters

V. Bytev, Bernd A. Kniehl외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 34인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 매개수에 대한 호른 유형 초함수의 도함수에 대한 명시적 표현을 유도하며, 이러한 도함수가 추가로 한 개의 변수를 가진 새로운 호른 유형 초함수 급수를 생성함을 보여준다. 주요 기여는 파편적 초함수의 매개수 도함수를 통한 차원 조정에서의 ε-전개를 체계적으로 계산할 수 있는 일반 공식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We consider the derivatives of Horn hypergeometric functions of any number variables with respect to their parameters. The derivative of the function in $n$ variables is expressed as a Horn hypergeometric series of $n+1$ infinite summations depending on the same variables and with the same region of convergence as for original Horn function. The derivatives of Appell functions, generalized hypergeometric functions, confluent and non-confluent Lauricella series and generalized Lauricella series are explicitly presented. Applications to the calculation of Feynman diagrams are discussed, especially the series expansion in $\epsilon$ within dimensional regularization. Connections with other classes of special functions are discussed as well.

연구 동기 및 목표

• 매개수에 대한 호른 유형 초함수의 도함수에 대한 일반적 표현을 유도하는 것.
• 앱셀 및 일반화된 초함수에 대한 기존 결과를 다변수 및 일반화된 라우리첼라 급수로 확장하는 것.
• 고에너지 물리학, 특히 파편적 도함수 계산에 적용 가능한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 매개수 도함수가 호른 유형 함수에서 동일한 수렴 유형을 가진 새로운 초함수 급수를 생성함을 확립하여, 차원 조정에서의 ε-전개를 촉진하는 것.

제안 방법

• 포크하머 기호를 미분하고 다이감마 함수를 포함한 급수로 표현함으로써 초함수의 일阶 도함수를 유도한다.
• 이 방법을 일반화된 초함수, 앱셀 함수, 일반화된 라우리첼라 급수에 적용하여 도함수가 한 개 더 많은 변수를 가진 호른 유형 급수임을 보여준다.
• 포크하머 기호의 구조와 스틸링 수 전개를 사용하여 매개수 도함수를 체계적으로 다룬다.
• 이중 및 다중 합산 인덱스 매개수(예: 2m+n, qn)에 대한 결과를 도출하고, 임의의 매개수 도함수로 일반화한다.
• 두 변수에 대한 호른 함수(예: H3(a,b,c,x,y))에 이 형식을 적용하여 매개수 도함수를 명시적으로 유도한다.
• 도함수 급수의 수렴 영역이 원래 함수와 동일함을 보여주어 해석적 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수에 대한 호른 유형 초함수의 도함수는 닫힌 형태로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 매개수에 대한 일반화된 초함수를 미분할 때 어떤 특수 함수의 클래스가 나타나는가?
• RQ3 앱셀 및 라우리첼라 급수의 도함수는 매개수 미분에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ4 파편적 도함수의 ε-전개는 초함수의 매개수 도함수로부터 체계적으로 도출될 수 있는가?
• RQ5 도함수 급수의 수렴 영역은 무엇이며, 원래 함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• n개 변수에 대한 호른 유형 초함수의 매개수에 대한 도함수는 동일한 수렴 영역을 가진 n+1개 변수를 가진 호른 유형 초함수 급수로 표현 가능하다.
• 일반화된 초함수 및 앱셀 함수의 첫 번째 도함수는 카맹드 페리에 타입 함수로 표현 가능하다고 보여진다.
• 일반화된 라우리첼라 및 호른 유형 함수(예: H3)에 대해 명시적인 도함수 공식이 도출되었으며, 임의의 매개수 도함수에 대해 유효하다.
• 이 방법을 통해 초함수 표현을 매개수 Ba 및 Db에 대해 미분함으로써 차원 조정에서 파편적 도함수의 ε-전개를 구성할 수 있다.
• 도함수 급수의 수렴 영역은 원래 함수와 동일하여 해석적 일致성을 보장한다.
• 결과는 미분 환원 기법을 통해 파편적 도함수를 최소한의 무한합계로 기본 초함수로 환원할 수 있는 체계적인 프레임워크를 제공한다.