[논문 리뷰] Derivatives pricing using signature payoffs

Imanol Pérez Arribas|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 기초 자산의 가격 경로의 서명(signature)에 대한 선형 함수형인 수익을 지닌 서명 파생상품(signature payoffs)을 도입한다. 연속적인 경로 의존 수익의 공간에서 서명 파생상품의 조밀성(density)을 활용함으로써, 단지 100개의 시뮬레이션 경로와 4차 수준의 잘라낸 서명(truncated signature)을 사용하여 유럽식, 미국식, 아시안, 룩부킹, 변동성 스왑과 같은 복잡한 파생상품의 가격을 R² > 0.99999의 매우 높은 정확도로 근사화할 수 있다.

ABSTRACT

We introduce signature payoffs, a family of path-dependent derivatives that are given in terms of the signature of the price path of the underlying asset. We show that these derivatives are dense in the space of continuous payoffs, a result that is exploited to quickly price arbitrary continuous payoffs. This approach to pricing derivatives is then tested with European options, American options, Asian options, lookback options and variance swaps. As we show, signature payoffs can be used to price these derivatives with very high accuracy.

연구 동기 및 목표

• 경로 서명의 수학적 구조를 활용하여 복잡한 경로 의존 파생상품을 효율적으로 가격 산정할 수 있는 새로운 프레임워크를 개발하는 것.
• 경로 공간 상의 연속 함수 공간에서 서명 파생상품의 조밀성을 활용하여 금융에서 임의의 연속 수익을 가격 산정하는 과제를 해결하는 것.
• 서명 파생상품이 다양한 파생상품 도구에 대해 높은 정확도와 낮은 계산 오버헤드로 보편적인 근사 도구로 기능할 수 있음을 보여주는 것.
• 최소한의 학습 데이터를 사용하여 블랙-숄즈 모델 하에서 실제 파생상품 유형에 대해 방법을 실증적으로 검증하는 것.

제안 방법

• 시간에 대한 반복적 적분의 순서로 가격 경로의 서명을 정의하여 경로의 전체 기하학적 및 시간적 구조를 포착한다.
• 가격 경로의 잘라낸 서명에 대한 선형 함수형인 서명 파생상품을 도입함으로써, 알려진 모델 하에서 빠르고 해석적으로 접근 가능한 가격 산정이 가능해진다.
• 계산 복잡도를 줄이면서도 근사 정확도를 유지하기 위해 순서 n(예: n=4)의 잘라낸 서명을 사용한다.
• 시뮬레이션된 시장 경로(예: 블랙-숄즈)에 대해 선형 회귀를 적용하여 서명 파생상품의 선형 함수형 계수를 추정한다.
• 가능한 모델 하에서 기대 서명(expected signature)을 평가하여 파생상품의 공정 가격을 계산하며, 블랙-숄즈와 같은 모델에서는 해석적으로 접근 가능하다.
• 학습된 서명 파생상품 표현을 사용하여 다양한 파생상품의 샘플 외 가격 산정을 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서명 파생상품은 임의의 연속적인 경로 의존 수익을 임의로 잘 근사할 수 있는가?
• RQ2 서명 파생상품은 유럽식, 미국식, 아시안, 룩부킹, 변동성 스왑과 같은 표준 파생상품을 얼마나 정확하게 가격 산정할 수 있는가?
• RQ3 잘라낸 서명을 사용할 때 최소한의 학습 데이터(예: 100개의 시뮬레이션 경로)로 어떤 정도의 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 단일 모델 가정 하에서 다양한 파생상품 유형과 만기 기간에 대해 이 방법은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 최소한의 수정으로 다자산 또는 배당 지급이 있는 기초자산으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 서명 파생상품은 연속적인 경로 의존 수익의 공간에서 조밀하므로, 임의의 연속 수익 함수에 대한 보편적 근사를 가능하게 한다.
• 모든 테스트된 파생상품에서 공정 가격 근사화에 대해 R² > 0.99999의 높은 정확도를 달성하였다. 이는 유럽식 콜옵션, 미국식 풋옵션, 아시안 옵션, 룩부킹 옵션, 변동성 스왑을 포함한다.
• 단지 100개의 시뮬레이션된 시장 경로와 4차 수준의 잘라낸 서명(121차원 선형 함수형)을 사용하여 근사적으로 완벽한 예측 정확도를 달성하였다.
• 블랙-숄즈와 같은 모델 하에서 기대 서명이 해석적으로 접근 가능하므로, 서명 파생상품의 공정 가치를 효율적으로 계산할 수 있다.
• 이 프레임워크는 강건하고 일반화 가능하며, 경로 보완의 간단한 수정만으로 다자산 파생상품 및 배당 지급이 있는 기초자산으로도 확장할 수 있다.
• 각 구성 요소의 서명 파생상품 표현을 사전에 계산함으로써 파생상품 포트폴리오의 빠른 가격 산정이 가능해진다.